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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 53

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelos gráficos de y = 3 x e pelas retas x = 1 e y = 1 , em torno do eixo x .

Passo 1

O primeiro passo para o cálculo da área do volume de um sólido gerado por uma revolução é fazer um esboço da região a ser rotacionada. A função parte do ponto ( 0,1 ) e cresce até ( 1,3 ) , onde toca na reta x = 1 . Essa região ainda é limitada por baixo pela reta horizontal y = 1 . A região então fica assim:

Passo 2

Utilizando o método dos cortes, cada corte vertical do sólido de revolução terá a área definida por:

A x = π 3 x 2 - 1 2 = π ( 3 2 x - 1 )

Pois há um círculo de área π 3 x 2 gerado pela rotação de uma linha vertical de altura f ( x ) para qualquer x ∈ [ 0,1 ] , menos um círculo de área π ⋅ 1 2 gerado por y = 1 . Nossa integral fica então:

∫ 0 1 A x d x = ∫ 0 1 π 3 2 x - 1 d x

Passo 3

Sabendo que ∫ 3 2 x d x = 1 2 ∫ 3 2 x d ( 2 x ) = 1 2 3 2 x ln ⁡ 3 + C :

∫ 0 1 π 3 2 x - 1 d x = π 3 2 x 2 ln ⁡ 3 - x 0 1 = π 3 2 2 ln ⁡ 3 - 1 - π 2 ln ⁡ 3 = π 9 ln ⁡ 3 - 1 - 1 2 ln ⁡ 3 =

= π 8 2 ln ⁡ 3 - 1 = π 4 ln ⁡ 3 - 1

Resposta

V = ∫ 0 1 π 3 2 x - 1 d x = π 4 ln ⁡ 3 - 1

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