Calcule a integral definida

∫ 0 1       s e n ( π x ) c o s ⁡ ( π x )     d x  

Passo 1

Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Agora está na hora de usar tudo o que praticamos de integrais e identidades trigonométricas

Vou usar a seguinte identidade

s e n π x cos ⁡ π x = s e n 2 π x 2

A integral fica

∫ 0 1     s e n π x cos ⁡ π x   d x =   ∫ 0 1     s e n 2 π x 2   d x    

Olha so como ficou mais fácil, transformamos dois termos em um apenas. E integral de função trigonométrica básica igual nos temos é moleza

Passo 3

∫ 0 1     s e n 2 π x 2   d x = -     c o s 2 π x 4 π x = 0 1

- 1 4 π ( cos ⁡ 2 π - c o s 0 )  

Olha que coisa cos ⁡ 2 π = cos ⁡ 0 . Então essa integral é zero. Isso acontece porque integramos numa região, onde a área positiva era igual a área negativa

E ao somar elas se anulam . Podemos observar isso na imagem abaixo da nossa função

s e n 2 π x 2

Resposta

∫ 0 1     s e n π x cos ⁡ π x   d x = 0

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