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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 12

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ 12 y 4 + 4 y 2 + 1 2 ( y 3 + 2 y ) d y ,     u = y 4 + 4 y 2 + 1

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d y no final:

u = y 4 + 4 y 2 + 1 → d u = y 4 + 4 y 2 + 1 ' d y = 4 y 3 + 8 y d y

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 12 y 4 + 4 y 2 + 1 2 y 3 + 2 y d y

O termo dentro do parênteses elevado ao quadrado é o próprio u !

∫ 12 u 2 y 3 + 2 y d y

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 4 y 3 + 8 y d y → d u 4 = 4 y 3 + 8 y 4 d y → d u 4 = ( y 3 + 2 y ) d y

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 12 u 2 y 3 + 2 y d y = ∫ 12 u 2 d u 4 = ∫ 3 u 2 d u

Agora pela tabela de primitivas sabemos que essa é a integral de um polinômio

∫ 3 u 2 d u = u 3 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 12 y 4 + 4 y 2 + 1 2 y 3 + 2 y d y = y 4 + 4 y 2 + 1 3 + C

Resposta

y 4 + 4 y 2 + 1 3 + C

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2.Calcule: ∫ 0 π 4 c o s 2 2 x d x
2.Calcule: ∫ 0 1 3 2 x + 1 d x