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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 9

Calcule a integral definida

int_1^(10) sqrt(5 x - 1) d x

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Bem essa não tem muito jeito , precisamos usar nossa carta da manga.

Vamos integrar por substituição.

int_1^(10) sqrt(5 x - 1) d x

u = 5 x - 1 ,

d u = 5 d x -> (d u)/(5) = d x

Assim temos 2 caminhos a seguir, como nossa nova variável é u, ela possui limites de integração diferentes de x. Então podemos calcular a integral como indefinida em u, e depois convertemos de volta pra x e os limites dados pelo problema.OU alteramos os limites de integração e já fazemos o calculo direto.

Vou optar por fazer integral indefinida e retornar a x. É sempre bom treinar diferentes formas de integrar pra ir pegando o jeito.

Entao

int_1^(10) sqrt(5 x - 1) d x -> int_()^() (sqrt(u))/(5) d u

Passo 3

Pornto agora ficou fácil integral, e obtemos então :

(1)/(5) . (2)/(3) u^((3)/(2))

E lembra

u = 5 x - 1

Então a integração fica

((2)/(15) (5 x - 1)^((3)/(2))|_(x = 1)^(10)

Logo :

(2)/(15) [ (5.10 - 1)^((3)/(2)) - (5.1 - 1)^((3)/(2)) ]

= (134)/(3)

Resposta

int_1^(10) sqrt(5 x - 1) d x = (134)/(3)

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