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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 93

Calcule a integral definida.

int_0^(16) sqrt(4 - sqrt(x)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^(16) sqrt(4 - sqrt(x)) d x

Para resolver essa integral o primeiro passo é fazer t = sqrt(x) => t^2 = x . Assim,

d x = 2 t d t

Portanto,

I = 2 int_0^4 sqrt(4 - t) t d t

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa novamente:

u = sqrt(4 - t) => u^2 = 4 - t => t = 4 - u^2 => d t = - 2 u d u

Assim,

I = 2 int_2^0 u * (4 - u)^2 (- 2 u d u) = 4 int_0^2 (4 - u^2) u^2 d u

Passo 3

Fazendo a integração:

I = 4 int_0^2 (4 u^2 - u^4) d u = 4 ((4)/(3) u^3 - (1)/(5) u^5)_0^2

Portanto,

I = 4 * ((4)/(3) * 8 - (1)/(5) * 32) = 4 * 32 * ((1)/(3) - (1)/(5))

Desta forma,

I = (256)/(15)

Resposta

(256)/(15)

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