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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 90

Calcule a integral definida.

int_0^4 (x^2)/(x^3 + 4 x^2 + 5 x + 2) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^4 (x^2)/(x^3 + 4 x^2 + 5 x + 2) d x

Vamos usar a técnica das frações parciais nesse problema. Note que o denominador pode ser fatorado:

x^3 + 4 x^2 + 5 x + 2 = (x + 1)^2 (x + 2)

Assim,

(x^2)/(x^3 + 4 x^2 + 5 x + 2) = (x^2)/((x + 1)^2 ( x + 2 )) = (A)/(x + 1) + (B)/((x + 1)^2) + (C)/(x + 2)

Portanto,

A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x + 1)^2 = x^2

Logo,

A (x^2 + 3 x + 2) + B (x + 2) + C (x^2 + 2 x + 1) = x^2

Desta forma,

(A + C) x^2 + (3 A + B + 2 C) x + 2 A + 2 B + C = x^2

Chegamos então ao sistema:

{[[A + C = 1],[3 A + B + 2 C = 0],[2 A + 2 B + C = 0]])

Isolando B nas duas últimas equações:

B = - 3 A - 2 C e B = - A - (C)/(2)

Assim, igualando-as:

3 A + 2 C = A + (C)/(2) => 2 A = (C)/(2) - 2 C = - (3 C)/(2) => A = - (3 C)/(4)

Substituindo essa relação na primeira equação:

- (3 C)/(4) + C = 1 => (C)/(4) = 1 => C = 4

Assim, temos que

A = - (3)/(4) * 4 = - 3

Por fim,

B = - 3 * (- 3) - 2 * 4 = 9 - 8 = 1

Temos então que A = - 3 , B = 1 e C = 4 . Assim,

(x^2)/(x^3 + 4 x^2 + 5 x + 2) = - (3)/(x + 1) + (1)/((x + 1)^2) + (4)/(x + 2)

Portanto,

I = int_0^4 (- (3)/(x + 1) + (1)/((x + 1)^2) + (4)/(x + 2)) d x

Passo 2

Agora é só fazer a integração:

I = (- 3 ln |x + 1| - (1)/(x + 1) + 4 ln |x + 2|)_0^4

Portanto, temos que

I = (- (1)/(x + 1) + ln (x + 2)^4 - ln (x + 1)^3)_0^4

Juntando os logaritmos:

I = (ln ((x + 2)^4)/((x + 1)^3) - (1)/(x + 1))_0^4

Passo 3

Substituindo os limites de integração:

I = ln (6^4)/(5^3) - (1)/(5) - ln (2^4)/(1^3) + 1

Portanto,

I = (4)/(5) + ln (6^4)/(5^3 * 2^4) = (4)/(5) + ln (3^4)/(5^3) = (4)/(5) + ln (81)/(125)

Assim, temos que

I = (4)/(5) - ln (125)/(81)

Resposta

(4)/(5) - ln (125)/(81)

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