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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 82

Calcule a integral definida.

int_0^(sqrt((pi)/(2))) x e^(x^2) cos x^2 d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. O primeiro passo é fazer a substituição t = x^2 . Assim, d t = 2 x d x . Portanto,

I = int_0^(sqrt((pi)/(2))) x e^(x^2) cos x^2 d x = (1)/(2) int_0^((pi)/(2)) e^t cos t d t

Agora precisamos achar uma primitiva para e^t cos t .

Passo 2

Para achar esse primitiva, vamos usar integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Chamando u = e^t e d v = cos t d t , temos que d u = e^t d t e v = s e n t :

int e^t cos t d t = e^t s e n t - int e^t s e n t d t

Na segunda integral aplicamos partes de novo com u = e^t e d v = s e n t d t . Portanto, d u = e^t d t e v = - cos t :

int e^t cos t d t = e^t s e n t - (- e^t cos t + int e^t cos t d t)

Logo,

int e^t cos t d t = e^t s e n t + e^t cos t - int e^t cos t d t

Portanto,

2 int e^t cos t d t = e^t (s e n t + cos t)

Assim,

int e^t cos t d t = (1)/(2) e^t (s e n t + cos t)

Passo 3

Usando a primitiva calculada no passo anterior:

I = (1)/(2) * ((1)/(2) e^t (s e n t + cos t))_0^((pi)/(2))

Portanto,

I = (1)/(4) (e^((pi)/(2)) - e^0) = (1)/(4) (e^((pi)/(2)) - 1)

Resposta

(1)/(4) (e^((pi)/(2)) - 1)

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