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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 89

Calcule a integral definida.

int_0^1 sqrt(2 y + y^2) d y

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_0^1 sqrt(2 y + y^2) d y

Primeiro precisamos completar quadrados dentro da raiz:

y^2 + 2 y = y^2 + 2 y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1

Assim,

I = int_0^1 sqrt((y + 1)^2 - 1) d y

Fazemos agora x = y + 1 , com d y = d x :

I = int_1^2 sqrt(x^2 - 1) d x

Passo 2

Vamos procurar uma primitiva para sqrt(x^2 - 1) fazendo a substituição x = sec t com d x = sec t tan t d t :

x^2 - 1 = sec^2 t - 1 = tan^2 t => sqrt(x^2 - 1) = tan t

Portanto,

int sqrt(x^2 - 1) d x = int sec t tan^2 t d t = int sec t (sec^2 t - 1) d t = int sec^3 t d t - int sec t d t

Vamos procurar a integral da secante ao cubo usando partes:

int u d v = u v - int v d u

Chamando u = sec t e d v = sec^2 t d t , temos que d u = sec t tan t d t e v = tan t :

int sec^3 t = sec t tan t - int sec t tan^2 t d t = sec t tan t - int sec t (sec^2 t - 1) d t

Assim,

int sec^3 t = sec t tan t - int sec^3 t + int sec t d t

Portanto,

2 int sec^3 t = sec t tan t + int sec t d t => int sec^3 t = (1)/(2) sec t tan t + (1)/(2) int sec t d t

Desta forma,

int sec^3 t d t - int sec t d t = (1)/(2) sec t tan t - (1)/(2) int sec t d t

Portanto,

int sec^3 t d t - int sec t d t = (1)/(2) sec t tan t - (1)/(2) ln |sec t + tan t|

Como tan t = sqrt(x^2 - 1) e sec t = x :

int sqrt(x^2 - 1) d x = (1)/(2) x sqrt(x^2 - 1) - (1)/(2) ln |x + sqrt(x^2 - 1)|

Passo 3

Assim, temos que

I = int_1^2 sqrt(x^2 - 1) d x = ((1)/(2) x sqrt(x^2 - 1) - (1)/(2) ln |x + sqrt(x^2 - 1)|)_1^2

Portanto,

I = (1)/(2) (2 sqrt(3) - ln |2 + sqrt(3)| - 0 + ln 1)

Logo,

I = sqrt(3) - (1)/(2) ln (2 + sqrt(3))

Resposta

sqrt(3) - (1)/(2) ln (2 + sqrt(3))

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