Calcule a integral definida. ∫ 0 1 2 y + y 2 d y Passo 1A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular I = ∫ 0 1 2 y + y 2 d y Primeiro precisamos completar quadrados dentro da raiz: y 2 + 2 y = y 2 + 2 y + 1 - 1 = y + 1 2 - 1 Assim, I = ∫ 0 1 y + 1 2 - 1 d y Fazemos agora x = y + 1 , com d y = d x : I = ∫ 1 2 x 2 - 1 d x Passo 2Vamos procurar uma primitiva para x 2 - 1 fazendo a substituição x = sec t com d x = sec t tan t d t : x 2 - 1 = sec 2 t - 1 = tan 2 t ⇒ x 2 - 1 = tan t Portanto, ∫ x 2 - 1 d x = ∫ sec t tan 2 t d t = ∫ sec t sec 2 t - 1 d t = ∫ sec 3 t d t - ∫ sec t d t Vamos procurar a integral da secante ao cubo usando partes: ∫ u d v = u v - ∫ v d u Chamando u = sec t e d v = sec 2 t d t , temos que d u = sec t tan t d t e v = tan t : ∫ sec 3 t = sec t tan t - ∫ sec t tan 2 t d t = sec t tan t - ∫ sec t sec 2 t - 1 d t Assim, ∫ sec 3 t = sec t tan t - ∫ sec 3 t + ∫ sec t d t Portanto, 2 ∫ sec 3 t = sec t tan t + ∫ sec t d t ⇒ ∫ sec 3 t = 1 2 sec t tan t + 1 2 ∫ sec t d t Desta forma, ∫ sec 3 t d t - ∫ sec t d t = 1 2 sec t tan t - 1 2 ∫ sec t d t Portanto, ∫ sec 3 t d t - ∫ sec t d t = 1 2 sec t tan t - 1 2 ln sec t + tan t Como tan t = x 2 - 1 e sec t = x : ∫ x 2 - 1 d x = 1 2 x x 2 - 1 - 1 2 ln x + x 2 - 1 Passo 3Assim, temos que I = ∫ 1 2 x 2 - 1 d x = 1 2 x x 2 - 1 - 1 2 ln x + x 2 - 1 1 2 Portanto, I = 1 2 2 3 - ln 2 + 3 - 0 + ln 1 Logo, I = 3 - 1 2 ln 2 + 3 Resposta 3 - 1 2 ln 2 + 3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ sen ( 3 x ) d x , u = 3 xCalcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ sec 2 t tg 2 t d t , u = 2 tCalcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ 12 y 4 + 4 y 2 + 1 2 ( y 3 + 2 y ) d y , u = y 4 + 4 y 2 + 1Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ 4 x 3 x 4 + 1 2 d x , u = x 4 + 1Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ 1 x 2 cos 2 1 x d x , u = - 1 xVer TambémVer Livro Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis LeitholdVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Substituição SimplesVer exercício 6.4 - 1Ver exercício 9.Revisão - 94