Calcule a integral definida. int_0^1 sqrt(2 y + y^2) d y Passo 1A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular I = int_0^1 sqrt(2 y + y^2) d y Primeiro precisamos completar quadrados dentro da raiz: y^2 + 2 y = y^2 + 2 y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1 Assim, I = int_0^1 sqrt((y + 1)^2 - 1) d y Fazemos agora x = y + 1 , com d y = d x : I = int_1^2 sqrt(x^2 - 1) d x Passo 2Vamos procurar uma primitiva para sqrt(x^2 - 1) fazendo a substituição x = sec t com d x = sec t tan t d t : x^2 - 1 = sec^2 t - 1 = tan^2 t => sqrt(x^2 - 1) = tan t Portanto, int sqrt(x^2 - 1) d x = int sec t tan^2 t d t = int sec t (sec^2 t - 1) d t = int sec^3 t d t - int sec t d t Vamos procurar a integral da secante ao cubo usando partes: int u d v = u v - int v d u Chamando u = sec t e d v = sec^2 t d t , temos que d u = sec t tan t d t e v = tan t : int sec^3 t = sec t tan t - int sec t tan^2 t d t = sec t tan t - int sec t (sec^2 t - 1) d t Assim, int sec^3 t = sec t tan t - int sec^3 t + int sec t d t Portanto, 2 int sec^3 t = sec t tan t + int sec t d t => int sec^3 t = (1)/(2) sec t tan t + (1)/(2) int sec t d t Desta forma, int sec^3 t d t - int sec t d t = (1)/(2) sec t tan t - (1)/(2) int sec t d t Portanto, int sec^3 t d t - int sec t d t = (1)/(2) sec t tan t - (1)/(2) ln |sec t + tan t| Como tan t = sqrt(x^2 - 1) e sec t = x : int sqrt(x^2 - 1) d x = (1)/(2) x sqrt(x^2 - 1) - (1)/(2) ln |x + sqrt(x^2 - 1)| Passo 3Assim, temos que I = int_1^2 sqrt(x^2 - 1) d x = ((1)/(2) x sqrt(x^2 - 1) - (1)/(2) ln |x + sqrt(x^2 - 1)|)_1^2 Portanto, I = (1)/(2) (2 sqrt(3) - ln |2 + sqrt(3)| - 0 + ln 1) Logo, I = sqrt(3) - (1)/(2) ln (2 + sqrt(3)) Resposta sqrt(3) - (1)/(2) ln (2 + sqrt(3)) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ sen ( 3 x ) d x , u = 3 xCalcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ sec 2 t tg 2 t d t , u = 2 tCalcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ 12 y 4 + 4 y 2 + 1 2 ( y 3 + 2 y ) d y , u = y 4 + 4 y 2 + 1Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ 4 x 3 x 4 + 1 2 d x , u = x 4 + 1Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão ∫ 1 x 2 cos 2 1 x d x , u = - 1 xVer TambémVer Livro Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis LeitholdVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Substituição SimplesVer exercício 6.4 - 1Ver exercício 9.Revisão - 94