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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 94

Calcule a integral definida.

int_(2 pi // 3)^(pi) (s e n (1)/(2) t)/(1 + cos (1)/(2) t) d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = int_(2 pi // 3)^(pi) (s e n (1)/(2) t)/(1 + cos (1)/(2) t) d t

O primeiro passo é fazer a substituição x = (1)/(2) t => d t = 2 d x :

I = 2 int_(pi // 3)^(pi // 2) (s e n x)/(1 + cos x) d x

Passo 2

Agora basta fazer u = 1 + cos x , já que d u = - s e n x d x . Note que quando x = pi // 3 , temos que u = 1 + (1)/(2) = (3)/(2) . Já para x = (pi)/(2) , temos que u = 1 + 0 = 1 :

I = - 2 int_((3)/(2))^1 (1)/(u) d u = 2 int_1^(3 // 2) (1)/(u) d u

Passo 3

Fazendo a integração:

I = (2 ln u)_1^((3)/(2))

Portanto,

I = 2 (ln (3)/(2) - ln 1) = 2 ln (3)/(2)

Desta forma,

I = ln ((3)/(2))^2 = ln (9)/(4)

Resposta

ln (9)/(4)

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