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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.6 - Ex. 25

Calcule a integral definida.

int_(- 1)^0 (x^2 d x)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

(x^2)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = (A x + B)/(2 x^2 + 2 x + 1) + (C x + D)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A , B , C e D .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

(A x + B)/(2 x^2 + 2 x + 1) + (C x + D)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = ((A x + B) (2 x^2 + 2 x + 1) + C x + D)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

= (A (2 x^3 + 2 x^2 + x) + B (2 x^2 + 2 x + 1) + C x + D)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

(A x^3 + (2 A + 2 B) x^2 + (A + 2 B + C) x + ( B + D ))/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = (x^2)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 4 equações:

  1. A = 0
  2. 2 A + 2 B = 1
  3. A + 2 B + C = 0
  4. B + D = 0

De (1) tiramos que B = (1)/(2) e de (3) que C = - 2 B = - 1 . De (4), obtemos D = - B = - (1)/(2) . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

(x^2)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = (1)/(2 ( 2 x^2 + 2 x + 1 )) + (- x - (1)/(2))/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

Passo 4

Agora podemos integrar:

int (x^2 d x)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = int (d x)/(2 ( 2 x^2 + 2 x + 1 )) - (1)/(2) int (( 2 x + 1 ) d x)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

A primeira integral calculamos completando o quadrado:

int (d x)/(2 (2 x^2 + 2 x + 1)) = (1)/(4) int (d x)/(x^2 + x + (1)/(2)) = (1)/(4) int (d x)/((x + (1)/(2))^2 + ((1)/(2))^2) = (1)/(4) * 2 arctan (2 (x + (1)/(2))) + C

= (1)/(2) arctan ( 2 x + 1 ) + C

Para a segunda, devemos tentar colocar (2 x^2 + 2 x + 1)^' = 4 x + 2 no numerador, para conseguirmos integrar facilmente. Então fazemos assim:

- (1)/(2) int ((2 x + 1) d x)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = - (1)/(4) int ((4 x + 2) d x)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = - (1)/(4) int (d ((2 x^2 + 2 x + 1)^2))/((2 x^2 + 2 x + 1)^2)

= - (1)/(4) * (- (1)/(2 x^2 + 2 x + 1)) + C = (1)/(4 (2 x^2 + 2 x + 1)) + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

int_(- 1)^0 (x^2 d x)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = ((1)/(2) arctan ( 2 x + 1 )|_(- 1)^0 + ((1)/(4 (2 x^2 + 2 x + 1))|_(- 1)^0

= (1)/(2) arctan 1 - (1)/(2) arctan (- 1) + (1)/(4) - (1)/(4) = (pi)/(8) + (pi)/(8) = (pi)/(4)

Resposta

int_(- 1)^0 (x^2 d x)/((2 x^2 + 2 x + 1)^2) = (pi)/(4)

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