Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.6 - Ex. 3d
Calcule.
Passo 1
Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais.
Mas antes vamos manipular um pouco a integral:
Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:
Vamos achar os valores de , , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Passo 2
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de , e de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Vamos somar a primeira com a segunda:
Agora somando a terceira com a última temos:
Vamos agora somar essas duas para achar o valor de :
Somando a segunda com a última achamos :
Multiplicando a primeira por e somando com a última encontramos :
Por último, substituindo os valores na primeira para achar :
Pronto, achamos os valores de , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Agora vamos resolver as quatros integrais separadamente.
Passo 3
Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 4
Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 5
Com a terceira, vamos usar a Regra da Substituição também:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 6
E novamente com a última vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 7
Agora é só juntar tudo:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: