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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 34

Nos exercícios de 15 a 36, calcule a integral indefinida. (34) ∫ 3 x 5 - 2 x 3 + 5 x 2 - 2 x 3 + 1 d x

Passo 1

Da integral dada,

f x = ∫ 3 x 5 - 2 x 3 + 5 x 2 - 2 x 3 + 1 d x

Vamos fazer uma divisão polinomial para melhorar a cara da nossa integral. Assim, obtemos o seguinte resultado:

f x = ∫ 2 x 2 x 3 + 1 + 3 x 2 - 2   d x = 2 ∫ x 2 x 3 + 1 d x + 3 ∫ x ² d x - 2 ∫ d x

Vamos usar a técnica da substituição de variáveis para calcular h x = 2 ∫ x 2 x 3 + 1 d x . Seja u = x 3 + 1 → d u = 3 x 2 d x   → x 2 d x = d u / 3 . Vamos agora reescrever a integral.

h u = 2 ∫ d u 3 u

Passo 2

Resolvendo a integral temos:

h u = 2 ∫ d u 3 u = 2 3 ∫ d u u

h u = 2 3 l n u + C h x = 2 3 l n ⁡ ( x 3 + 1 ) + C

Passo 3

Resolvendo a integral iniical, temos:

f x = 2 3 ln ⁡ x 3 + 1 + 3 x 3 3 - 2 x + C f x = 2 3 ln ⁡ x 3 + 1 + x 3 - 2 x + C

Resposta

O resultado é:

∫ 3 x 5 - 2 x 3 + 5 x 2 - 2 x 3 + 1 d x = 2 3 ln ⁡ x 3 + 1 + x 3 - 2 x + C

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