Calcule.

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 8 d x

Passo 1

Olá, pessoal! Repara que nessa função, o polinomio do denominador tem um grau maior do que o do numerador. Isso é um indicativo de que vamos usar frações parciais para resolver.

Agora precisamos saber qual caso esse encaixa, então vamos analisar o denominador.

A expressão x + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:

x 2 + 6 x + 12 = x 2 + 6 x + 9 - 1 = x + 3 2 - 1

Substituindo:

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 8 d x = ∫ 4 x + 1 x + 3 2 - 1 d x

Repara que ele é um fator linear com um fator irredutível do 2 º grau; Então vamos fazer umas mudanças na função para deixar ela mais simples de resolver!

Agora vamos usar a Regra da Substituição:

v = x + 3 → x = v - 3

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 4 x + 1 x + 3 2 - 1 d x = ∫ 4 v - 3 + 1 v 2 - 1 d v

Ajeitando a funçã,

= ∫ 4 v - 11 v 2 - 1 d v

Vamos separar essa subtração,

= ∫ 4 v v 2 - 1 - 11 v 2 - 1 d v = ∫ 4 v v 2 - 1 d v + ∫ - 11 v 2 - 1 d v

Vamos calcular as duas separadamente.

Passo 2

Vamos começar com,

∫ 4 v v 2 - 1 d v

Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:

t = v 2 - 1

d t = 2 v d v

Assim:

∫ 4 v v 2 - 1 d v = ∫ 2 t d t

Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 2 t d t = 2 ∫ 1 t d t = 2 ln ⁡ t + C

Passo 3

Com a segunda:

∫ - 11 v 2 - 1 d v = - 11 ∫ 1 v - 1 v + 1 d v

Vamos analisar o denominador! Ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

1 v - 1 v + 1 = A v - 1 + B v + 1

Fazendo essa soma, ficamos com,

1 v - 1 v + 1 = A v + 1 + B v - 1 v - 1 v + 1  

Com todos tem a mesma base, podemos igualar os numeradores,

1 = A v + 1 + B v - 1

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A v + 1 + B v - 1

1 = A v + A + B v - B

1 = v A + B + A - B

Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de v de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 → A = - B A - B = 1

Substituindo A na segunda:

A - B = 1 → - B - B = 1 → - 2 B = 1 → B = - 1 2

A = - - 1 2 = 1 2

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

- 11 ∫ 1 v - 1 v + 1 d v = - 11 ∫ 1 2 v - 1 + - 1 2 v + 1 d v

= - 11 ∫ 1 2 v - 1 - 1 2 v + 1 d v

Integrando,

= - 11 1 2 ln ⁡ v - 1 - 1 2 ln ⁡ v + 1

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 8 d x = ∫ 4 v v 2 - 1 d v + ∫ - 11 v 2 - 1 d v

= 2 ln ⁡ t - 11 1 2 ln ⁡ v - 1 - 1 2 ln ⁡ v + 1 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 8 d x = 2 ln ⁡ t - 11 1 2 ln ⁡ v - 1 - 1 2 ln ⁡ v + 1 + C

= 2 ln ⁡ v 2 - 1 - 11 1 2 ln ⁡ x + 3 - 1 - 1 2 ln ⁡ x + 3 + 1 + C

= 2 ln ⁡ x + 3 2 - 1 - 11 1 2 ln ⁡ x + 2 - 1 2 ln ⁡ x + 4 + C

Resposta

∫ 4 x + 1 x 2 + 6 x + 8 d x = 2 ln ⁡ x + 3 2 - 1 - 11 1 2 ln ⁡ x + 2 - 1 2 ln ⁡ x + 4 + C

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