Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.7 - Ex. 4
Calcule.
Passo 1
Olá, pessoal! Repara que nessa função, o polinomio do denominador tem um grau maior do que o do numerador. Isso é um indicativo de que vamos usar frações parciais para resolver.
Agora precisamos saber qual caso esse encaixa, então vamos analisar o denominador.
A expressão é bem parecida com a que temos, então vamos fazer assim:
Substituindo:
Repara que ele é um fator linear com um fator irredutível do grau; Então vamos fazer umas mudanças na função para deixar ela mais simples de resolver!
Agora vamos usar a Regra da Substituição:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Ajeitando a funçã,
Vamos separar essa subtração,
Vamos calcular as duas separadamente.
Passo 2
Vamos começar com,
Vamos usar a regra da substituição na primeira integral:
Assim:
Vamos achar as primitivas da função usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Passo 3
Com a segunda:
Vamos analisar o denominador! Ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:
Fazendo essa soma, ficamos com,
Com todos tem a mesma base, podemos igualar os numeradores,
Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então vamos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Substituindo na segunda:
Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:
Integrando,
Passo 4
Agora é só juntar tudo:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: