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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 65

Calcule a integral definida.

∫ 0 a x   x 2 + a 2   d x ,       ( a > 0 )

Passo 1

Fala aí, meus queridos! 😇

A questão pede para calcularmos a integral definida

∫ 0 a x   x 2 + a 2   d x

e pra isso podemos fazer uma mudança de variável. Nessa questão temos apenas letras, mas letras são como números assim como carros são como lanchas e motos como jet-skis.

Falando sério agora, presta atenção!

Para escolher bem a nossa mudança, devemos pegar uma parte da função que tenha uma derivada que apareça no restante da função.

Por exemplo, uma boa opção é escolher u = x 2 + a 2 , pois a sua derivada é u ' = 2 x e o fator x aparece de novo no resto da integral. Isso é importante para que após a substituição tudo esteja escrito em termos da nova variável u .

Além disso, vamos tornar a raíz que possui dois termos e uma raíz de apenas um termo, o que vai facilitar para integrar depois!!

Para a técnica da substituição devemos pegar parte do termo que está sendo integrado e chama-lo de u .

Então, devemos encontrar d u derivando u em termos de x .

d u = u ' d x

E portanto teremos que:

d x = d u u '

E dessa forma, substituímos a diferencial de x da integral.

Por fim, basta resolver a integral, desfazer a substituição e então substituir os limites de integração.

Ou então, você pode reescrever os limites de integração na variável u , resolver a integral e substituir os limites de integração, sem precisar desfazer a substituição.

Eu vou seguir por esse caminho aqui.

Passo 2

Nossa integral é:

∫ 0 a x   x 2 + a 2   d x

Vamos fazer a substituição

u = x 2 + a 2

E vamos derivar para encontrar seu diferencial d u :

d u = u ' d x

Logo,

d u = 2 x d x

(Afinal a é uma constante).

Dessa forma temos:

x d x = d u 2

Além disso, para

x = 0

u = x 2 + a 2 = a 2

e para

x = a

u = x 2 + a 2 = 2 a 2

Isso que acabamos de fazer nada mais é do que o método da substituição...

Bora lá! 😉

Passo 3

Fazendo essas alterações, a integral fica

∫ 0 a x   x 2 + a 2   d x = 1 2   ∫ a 2 2 a 2 u d u

Escrevendo em potência para facilitar a integração:

= 1 2   ∫ a 2 2 a 2 u 1 / 2 d u

Resolvendo, temos:

= 1 2   u 3 / 2 3 / 2 a 2 2 a 2 = 1 3   u 3 a 2 2 a 2

Assim, substituindo os limites de integração, temos:

= 1 3   2 a 2 3 - a 2 3

= 1 3   2 2 a 3 - a 3

(Na realidade, deveríamos trabalhar com módulo ao fazer a raíz quadrada de a 2 , mas como no enunciado diz que a > 0 , não precisamos nos preocupar com isso).

Dessa forma, temos que:

∫ 0 a x   x 2 + a 2   d x = 1 3 2 2   a 3 - a 3

∫ 0 a x   x 2 + a 2   d x = a 3 3 ( 2 2 - 1 )

E aí! O que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 a x   x 2 + a 2   d x = a 3 3 ( 2 2 - 1 )

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