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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 72

Avalie a integral definida.

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α   d t

Passo 1

Oieeee, tudo certinho por aí 😎?

Nesse problema temos que calcular a integral definia

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α   d t .

🤔 Mas como fazemos isso?

Usando a Regra da Substituição pra transformar essa integral em uma outra beeeeem mais fácil de calcular. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?

A Regra da Substituição para integrais definidas diz que: Se g ' x for uma função contínua no intervalo [ a ,   b ] e f for contínua na imagem de u = g x ,   então vale que

∫ a b f g x g ' x d x =   ∫ g a g b f u   d u .

🤔 Como usamos essa Regra nessa questão?

Precisamos escolher as funções f e u = g ( x ) de maneira conveniente e reescrever a integral dada como uma que sabemos calcular, combinado?

Além disso, nessa integral mais simples vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para obter o seu valor.

🛠️ Para facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema fundamental do cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f u d u = ∫ f u d u a b

    onde ∫ f u d u é a primitiva da função f , ou seja,

    d d u ∫ f ( u ) d u   = f u .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f u d u =   c ∫ f ( u ) d u .

  • A primitiva da função sen ⁡ u é

    • ∫ sen ⁡ u d u = - cos ⁡ u + C ,

    onde C é uma constante qualquer.

  • A função cosseno possui as seguintes propriedades:
    • É uma função par, ou seja

      • cos ⁡ - x = cos ⁡ x .

    • Se trocarmos um ângulo pelo seu suplementar, o cosseno muda de sinal, ou seja:

cos ⁡ π - x = - cos ⁡ x .

Vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão 😊!

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α d t ,

podemos ver que definindo

f t = s e n   t

e

u = g t = 2 π t T - α ,

então

f g x = sen ⁡   2 π t T - α .  

Além disso, derivando u em relação à variável t , temos que

d u d t = g ' t = 2 π T ,

ou seja

d u = 2 π T d t .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ 0 T 2 f ( g t ) g ' t   d t =   ∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α   ⋅ 2 π T ,   d t ,

ou seja,

∫ 0 T 2 f g t g ' t   d t = 2 π T ∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α d t .

Mas isso nos diz que a integral do enunciado é dada por

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α d t = T 2 π ∫ 0 T 2 f g t g ' t   d t .

Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral pode ser reescrita como

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α d t = T 2 π ∫ g 0 g T 2 f u d u ,

onde

g 0 = 2 π ⋅ 0 T - α = - α

e

g T 2 = 2 π T ⋅ T 2   - α = π - α .

Portanto, temos que

T 2 π ∫ g 0 g T 2 f u d u = T 2 π ∫ - α π - α sen ⁡ u d u ,

ou seja, descobrimos que

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α d t = T 2 π ∫ - α π - α sen ⁡ u d u ,

com u = 2 π t T - α .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né? Vamos fazer isso no próximo Passo 😉!

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental temos que

∫ - α π - α sen ⁡ u d u = ∫ sen ⁡ u d u - α π - α .

Mas, conforme vimos no Passo 1 , vale que

∫ sen ⁡ u d u = - cos ⁡ u + C .

Avaliando a primitiva nos extremos do intervalo de integração, temos que:

  • Em u = π - α

    • ∫ sen ⁡ u d u ​ u = π - α = - cos ⁡ π - α + C = cos ⁡ α + C .

  • Em u = - α

∫ sen ⁡ u d u ​ u = - α = - cos ⁡ - α + C = - cos ⁡ α + C .

Então,

∫ sen ⁡ u d u - α π - α = cos ⁡ α + C - - cos ⁡ α + C = 2 cos ⁡ α ,

e como descobrimos no Passo anterior que

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α d t = T 2 π ∫ - α π - α sen ⁡ u d u ,

a integral procurada vale

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α d t = T cos ⁡ α π .

Resposta

O valor da integral é:

∫ 0 T 2 sen ⁡   2 π t T - α     d t = T cos ⁡ α π .

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