O gerente de um complexo de apartamentos com unidades sabe, a partir da experiência, que todas as unidades estarão ocupadas se o aluguel for por mês. Uma pesquisa de mercado sugere que, em média, uma unidade adicional permanecerá vazia para cada de aumento no aluguel. Qual o aluguel que o gerente deveria cobrar para maximizar a receita?

O valor do aluguel é no mínimo certo? Porém ele depende do aumento da seguinte forma:

• Se o aluguel aumentar em um valor de dólares, então o novo aluguel será

Além disso, tem-se unidades e para cada aumento no valor do aluguel, uma unidade ficará vazia. Então,

• O número total de unidades ocupadas pode ser expresso por

Sendo assim, a função receita é dada da seguinte forma:

Substituindo os respectivos valores, vamos ter:

Simplificando a expressão temos:

Tranquilo até aqui?😊

Para maximizar a função

vamos começar encontrando os seus pontos críticos a partir da sua derivada.

Bem, como a função é um polinômio, vamos derivá-la utilizando a Regra da Soma e, para cada um dos seus termos, vamos utilizar Regra da Potência.

Relembrando a Regra da Potência:

Assim,

Derivando cada um dos termos:

Pronto, encontramos a derivada da função receita. Agora vamos encontrar os possíveis pontos críticos. Fazendo vamos ter:

ou seja,

Então, o valor é um ponto crítico da função

Para checarmos se esse é um ponto de máximo da função, vamos utilizar o Teste da Primeira Derivada para Valores Extremos Absolutos, beleza?

💡 Relembrando o Teste: Se é uma função contínua e é um ponto crítico de , então:

• Se para todo e para todo então é o valor máximo absoluto de .

Como

então observe que:

• Para
• Para

Dessa forma, temos que a função é crescente antes de e decrescente depois de . Com isso, temos que é um ponto de máximo global da função !

Como o valor do aluguel é dado por

então para o ponto de máximo teremos

Ou seja, se o aluguel dos apartamentos for , então a receita do complexo de apartamentos será máxima.