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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 3

Avalie a integral fazendo a substituição fornecida.

∫ x 2 x 3 + 1 d x ,         u = x 3 + 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

∫ x 2 x 3 + 1 d x

Para isso, o enunciado quer que a gente faça por meio da seguinte substituição:

u = x 3 + 1

Ou seja, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral.

Para isso, precisamos também achar diferencial de u , derivando:

d u = u ' d x

E usar isso para substituir d x na integral.

Bora lá então?

Passo 2

Temos a seguinte integral:

∫ x 2 x 3 + 1 d x

Vamos usar a seguinte substituição:

u = x 3 + 1

Derivando para encontrar seu diferencial:

d u = u ' d x

d u = 3 x 2 + 0 d x

d u = 3 x 2   d x

Dessa forma, temos que:

x 2 d x = d u 3

Vamos agora fazer a substituição:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = ∫ u d u 3

Podemos tirar a constante da integral:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 ∫ u d u

Transformando em potência para facilitar a integração:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 ∫ u 1 / 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 3

Para achar as primitivas da função, usamos as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C

Agora é só aplicar:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 ∫ u 1 / 2 d u

= 1 3 ⋅ u 1 2 + 1 1 2 + 1 + c

= 1 3 ⋅ u 3 2 3 2 + c

= 1 3 ⋅ 2 u 3 2 3 + c

= 2 u 3 2 9 + c

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 u 3 2 9 + c ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 x 3 + 1 3 2 9 + c ∴

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 x 3 + 1 3 9 + c

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ x 2 x 3 + 1 d x = 2 x 3 + 1 3 9 + c

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