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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 97

Calcule a integral definida abaixo:

int_(- 2)^(- 1) e^(- ( x + 1 )) d x

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_(- 2)^(- 1) e^(- ( x + 1 )) d x

u = - x - 1 d u = - d x => - d u = d x

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

int_(- 2)^(- 1) e^(- ( x + 1 )) d x = int_(- 2)^(- 1) - e^u d u = - int_(- 2)^(- 1) e^u d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração dada por:

int e^x d x = e^x + C

Assim:

- int_(- 2)^(- 1) e^u d u = ( - e^u ) (- 1)/(- 2)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(- e^u) (- 1)/(- 2) = ( - e^(- x - 1) ) (- 1)/(- 2)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(- e^(- x - 1)) (- 1)/(- 2) = - e^0 - (- e^1) = - 1 + e

Resposta

e - 1

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