Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x)/(1 + x^4) d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int (x)/(1 + x^4) d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Mas antes vamos reescrever a integral da seguinte forma:

int (x)/(1 + x^4) d x = int (x)/(1 + (x^2)^2) d x

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x^2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

int (x)/(1 + (x^2)^2) d x = (1)/(2) int (1)/(1 + u^2) d u

Passo 3

Resolvendo a integral, obtemos:

int (x)/(1 + (x^2)^2) d x = (1)/(2) int (1)/(1 + u^2) d u

Aqui preciso lembrar que a derivada do arco tangente é 1 // ( 1 + x^2 ) :

(1)/(2) int (1)/(1 + u^2) d u = (1)/(2) a r c t g u + C

Voltando a variável original:

int (x)/(1 + x^4) d x = (1)/(2) a r c t g x^2 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(1)/(2) a r c t g x^2 + C

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