Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 35

Calcule a integral indefinida.

∫ cot ⁡ x   csc 2 ⁡ x d x

Passo 1

E aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular dada por:

∫ cot ⁡ x   csc 2 ⁡ x d x

Parece complicado?

Perceba que essa função de integração parece muito dificil de ser integrada (ou impossivel)!

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então bora fazer um monte de questões pra ficarmos craques!

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = cot ⁡ x   csc 2 ⁡ x

Podemos chamar o que está dentro da raiz de u .

u = cot ⁡ x

Assim, derivando e isolando d x em um lado da igualdade:

d u d x = - csc 2 ⁡ x → d x = - 1 csc 2 ⁡ x d u

Agora substituímos u e d x na integral:

∫ cot ⁡ x   csc 2 ⁡ x d x → ∫ u   csc 2 ⁡ x - 1 csc 2 ⁡ x d u

Simplificando csc 2 ⁡ x ...

- ∫ u 1 2 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Perceba que transformamos aquela integral toda complicada em uma integral relativamente simples!

Agora vamos aplicar a regra da potência:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

- ∫ u 1 2 d u = - u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C = - u 3 2 3 2 + C

- ∫ u 1 2 d u = - 2 3 u 3 2 + C

Por fim, temos que voltar de u para x , então aplicamos a substituição de volta:

∫ cot ⁡ x   csc 2 ⁡ x d x = - 2 3 cot ⁡ x 3 2 + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ cot ⁡ x   csc 2 ⁡ x d x = - 2 3 cot ⁡ x 3 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c