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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 19

Encontre a integral indefinida geral.

∫   a + b x 2 3 a x + b x 3 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular dada por:

∫   a + b x 2 3 a x + b x 3 d x

Parece complicado?

Perceba que essa função de integração parece muito dificil de ser integrada (ou impossivel)!

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então bora fazer um monte de questões pra ficarmos craques!

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f x = a + b x 2 3 a x + b x 3

Então podemos chamar o que está dentro da raiz de u .

u = 3 a x + b x 3

Derivando e isolando d x em um lado da igualdade:

d u d x = 3 a + 3 b x 2 = 3 a + b x 2

d x = 1 3 a + b x 2 d u

Substituindo u e d x na integral... ∫   a + b x 2 3 a x + b x 3 d x → ∫   a + b x 2 u 1 3 a + b x 2 d u

Podemos simplificar a + b x 2 e tirar a constante de dentro da integral:

1 3 ∫ u - 1 2 d u

Show?

Passo 3

Viu só? Transformamos aquela integral extremamente complicada em uma integral simples!

Vamos resolver ela aplicando a regra da potência:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + C

Ou seja:

1 3 ∫ u - 1 2 d u = 1 3 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 3 u 1 2 1 2 + C

1 3 ∫ u - 1 2 d u = 2 3 u + C

Por fim, temos que voltar para x ... então aplicamos a substituição novamente.

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3 d x = 2 3 3 a x + b x 3 + C

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ a + b x 2 3 a x + b x 3 d x = 2 3 3 a x + b x 3 + C  

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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
Faça uma substituição u apropriada e, então, use a tabela de integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS; use-o para calcular a integral (sem usar substituições) e, então, c
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