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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 47

Calcule a integral indefinida.

int x (2 x + 5)^8 d x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom.. queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int x (2 x + 5)^8 d x

Para isso, vamos usar a Regra da Substituição.

Mas que regra é essa?? Bom... trata-se da substituição de uma variável por uma expressão mais simples, tornando a integral mais fácil de resolver.

Quer saber como?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Colocando as mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 x + 5

Obs: perceba que x = (u - 5)/(2) .

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d x

Assim, reescrevendo na integral, obtemos:

int x (2 x + 5)^8 d x = int (1)/(2) (u - 5) u^8 (d u)/(2) :.

= int (1)/(4) (u^9 - 5 u^8) d u

Passo 3

Resolvendo a integral, obtemos:

int x (2 x + 5)^8 d x = (1)/(4) [int (u^9) d u - int (5 u^8) d u] :.

= (1)/(4) ((u^(10))/(10) - (5 u^9)/(9)) + C

Voltando a variável original:

int x (2 x + 5)^8 d x = (1)/(4) (((2 x + 5)^(10))/(10) - (5 (2 x + 5)^9)/(9)) + C :.

= (1)/(40) (2 x + 5)^(10) - (5)/(36) (2 x + 5)^9 + C

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

int x (2 x + 5)^8 d x = (1)/(40) (2 x + 5)^(10) - (5)/(36) (2 x + 5)^9 + C

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