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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 20

Encontre a integral indefinida geral.

∫ z 2 z 3 + 1 d z

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular dada por:

∫ z 2 z 3 + 1 d z

Parece complicado?

Perceba que essa função de integração parece muito dificil de ser integrada (ou impossivel)!

Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:

Esse método consiste em substituir parte da função f x por uma variavel u e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.

∫ f x d x → ∫ g u d u

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral!

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então bora fazer um monte de questões pra ficarmos craques!

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f z = z 2 z 3 + 1

Podemos chamar o denominador dessa função de u , ou seja:

u = z 3 + 1

Derivando e isolando d z em um lado da igualdade:

d u d z = 3 z 2 → d z = 1 3 z 2 d u

Substituindo u e d z na integral:

∫ z 2 z 3 + 1 d z → ∫ z 2 u 1 3 z 2 d u

Simplificando z 2 ...

1 3 ∫ 1 u d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Transformamos aquela integral em outra integral que sabemos resolver, não é?

Lembrando do Teorema Fundamental, temos:

∫ a x d x = a ln ⁡ x + C

Ou seja:

1 3 ∫ 1 u d u = 1 3 ln ⁡ u + C

Por fim, temos que voltar de u para z , então aplicamos a substituição novamente.

∫ z 2 z 3 + 1 d z = 1 3 ln ⁡ z 3 + 1 + C

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ z 2 z 3 + 1 d z = 1 3 ln ⁡ z 3 + 1 + C

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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
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