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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 95

Calcule a integral definida abaixo:

int_1^4 ((x)/(8) + (1)/(2 x)) d x

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que :

int_1^4 ((x)/(8) + (1)/(2 x)) d x = int_1^4 ((x)/(8)) d x + int_1^4 ((1)/(2 x)) d x

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

= int_1^4 ((x)/(8)) d x + int_1^4 ((1)/(2 x)) d x = = (1)/(8) int_1^4 (x) d x + (1)/(2) int_1^4 ((1)/(x)) d x

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

E que:

int ((1)/(x)) d x = ln (|x|) + C

Assim:

(1)/(8) int_1^4 (x) d x + (1)/(2) int_1^4 ((1)/(x)) d x = (1)/(8) ((x^2)/(2)) (4)/(1) + (1)/(2) ( ln (|x|) ) (4)/(1)

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

(1)/(8) ((x^2)/(2)) (4)/(1) + (1)/(2) ( ln (|x|) ) (4)/(1) = (1)/(8) ((4^2)/(2) - (1^2)/(2)) + (1)/(2) ( ln (4) - ln (1) ) =

= (15)/(16) + (ln (4))/(2) = (15)/(16) + ln (2)

Lembre-se que:

l n sqrt(a) = (ln a)/(2)

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(ln (4))/(2) = ln sqrt(4) = ln (2)

Resposta

(15)/(16) + ln (2)

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