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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 99

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^(ln 5) e^r (3 e^r + 1)^(- (3)/(2)) d r

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^(ln 5) e^r (3 e^r + 1)^(- (3)/(2)) d r

u = 3 e^r + 1 d u = 3 e^r d r => (d u)/(3) = e^r d r

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_0^(ln 5) e^r (3 e^r + 1)^(- (3)/(2)) d r = int_0^(ln 5) u^(- (3)/(2)) (d u)/(3) = (1)/(3) int_0^(ln 5 ) u^(- (3)/(2)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim:

(1)/(3) int_0^(ln 5 ) u^(- (3)/(2)) d u = (1)/(3) ((u^(- (1)/(2)))/(- (1)/(2))) (ln 5)/(0)

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(1)/(3) ((u^(- (1)/(2)))/(- (1)/(2))) (ln 5)/(0) = - (2)/(3) ([ 3 e^r + 1]^(- (1)/(2)) ) (ln 5)/(0)

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- (2)/(3) ([ 3 e^r + 1]^(- (1)/(2)) ) (ln 5)/(0) = - (2)/(3) ( [ 3 e^(ln 5) + 1 ]^(- (1)/(2)) - [ 3 e^0 + 1 ]^(- (1)/(2)) ) =

= - (2)/(3) ((1)/(sqrt(16)) - (1)/(sqrt(4))) = - (2)/(3) ((1)/(4) - (1)/(2)) = - (2)/(3) (- (1)/(4)) = (1)/(6)

Resposta

(1)/(6)

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