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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 36

Use a fórmula do ângulo duplo cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1 para calcular a integral

∫ 1 1 + cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

E aí, galeraaa!! Bom, pra começarmos esse exercício, será preciso pensarmos na teoria, em exercícios já feitos antes, tabelas, etc.

Uma dessas coisas é a Tabela 5.2 . 1 na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON, na qual estão várias fórmulas prontas para integração.

Outra coisa que devemos analisar é o fato do denominador ser composto por uma soma e não por uma única função simples. Para facilitar, uma boa ideia é transformar essa soma em uma função simples e isso pode ser feito com a dica dada no enunciado.

Passo 2

Então, para fazer a transformação citada, rearranjar a fórmula do ângulo duplo, tal que:

cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x - 1 → 2 cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x

Agora, o termo na integral pode ser substituído:

∫ 1 1 + cos ⁡ 2 x d x = ∫ 1 2 cos 2 ⁡ x d x

Neste resultado, observando o Teorema 5.2 . 3 na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON, podemos concluir que essa última integral se encaixa no caso a . Aplicando esse teorema:

∫ 1 2 cos 2 ⁡ x d x = 1 2 ∫ 1 cos 2 ⁡ x d x

Que pode ser reescrito como:

1 2 ∫ 1 cos 2 ⁡ x d x = 1 2 ∫ sec 2 ⁡ x d x

Passo 3

Logo, olhando na tabela de integrais podemos calcular essa integração obtendo:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ x d x = 1 2 t g x + C

Resposta

∫ 1 1 + cos ⁡ 2 x d x = 1 2 t g x + C

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