Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_((sqrt(2))/(3))^((2)/(3)) (d y)/(|y| sqrt(9 y^2 - 1))

Passo 1

Essa integral é uma integral direta trigonométrica . Assim, temos que:

int_((sqrt(2))/(3))^((2)/(3)) (d y)/(|y| sqrt(9 y^2 - 1)) = ( sec^(- 1) |3 y| ) ((2)/(3))/((sqrt(2))/(3)) = sec^(- 1) |2| - sec^(- 1) |sqrt(2)| = (pi)/(3) - (pi)/(4) = (pi)/(12)

Uma dica para esse tipo de questão é se perguntar “qual função eu derivo para obter esse resultado?” . Neste caso a derivada de sec^(- 1) (y) = (1)/(|y| sqrt(y^2 - 1 )) , como a integral é a operação inversa da derivada você chega quase de imediato na sua respota, devendo ficar atento com o argumento da função !

Lembre-se que de forma genérica uma integral definida é calculada da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

(pi)/(12)

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