Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 103
Calcule a integral definida abaixo:
Passo 1
Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por partes . Esse método é aplicado quando temos duas funções distintas (trigonométricas, logarítmica, polinomial, exponencial, etc), sendo uma delas “fácil” de integrar e a outra “mais difícil” de integrar. Desse modo você chama uma função de f(x) e a outra de g’(x) . A sua f(x) você irá derivar (encontrando sua f’(x) ) e a sua g’(x) você irá integrar (encontrando sua g(x) ) e depois efetuar a seguinte operação:
Assim, temos:
Passo 2
Agora devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.
Passo 3
Aplicando a substituição temos:
Passo 4
Agora utilizaremos a a integração polinomial que é dada por:
Assim:
Passo 5
Substituindo u pela função que atribuímos, temos:
Passo 6
Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:
Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.
Assim: