Calcule

∫ x 2 1 - x 2 d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f x = 1 - x 2

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo θ como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 2, e um dos catetos vale x , concorda comigo que o outro vai valer 1 - x 2 ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que 1 - x 2 1 = cos ⁡ θ então x 1 = sin ⁡ θ → d x = cos ⁡ θ d θ

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

∫ x 2 1 - x 2 d x = ∫ sin 2 ⁡ θ × cos ⁡ θ × c o s   θ d θ = ∫ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ sin 2 ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ sin 2 ⁡ θ d θ - ∫ sin 4 ⁡ θ d θ

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Podemos, agora, integrar:

∫ sin 2 ⁡ θ d θ - ∫ sin 4 ⁡ θ d θ

Lembrando que:

sin 2 ⁡ θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ

∫ sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ

Se fizermos a substituição:

u = 2 θ → d u = 2 d θ

Então:

1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 ∫ 1 2 1 - cos ⁡ u d u = 1 4 ∫ 1 - cos ⁡ u d u = 1 4 u - sin ⁡ u

Voltando pra variável θ :

∫ sin 2 ⁡ θ d θ = 1 4 u - sin ⁡ u + k = 1 4 2 θ - sin ⁡ 2 θ + k = θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4 + k

Já a integral:

∫ sin 4 ⁡ θ d θ = ∫ 1 2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 4 1 - 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ d θ =

1 4 ∫ 1 - 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ d θ

Vamos fazer a substituição u = 2 θ → d u = 2 d θ

1 4 ∫ 1 - 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ d θ = 1 4 ∫ 1 2 1 - 2 cos ⁡ u + cos 2 ⁡ u d u =

1 8 ∫ 1 - 2 cos ⁡ u + cos 2 ⁡ u d u =

Agora temos que lembrar que cos 2 ⁡ u = 1 2 1 + cos ⁡ 2 u

1 8 ∫ 1 - 2 cos ⁡ u + 1 2 1 + cos ⁡ 2 u d u = 1 8 ∫ d u - 2 ∫ cos ⁡ u d u + 1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 u ) d u =

1 8 u - 2 sin ⁡ u + 1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 u ) d u

Novamente, substituição v = 2 u → d v = 2 d u :

1 8 u - 2 sin ⁡ u + 1 4 ∫ 1 + cos ⁡ v d v = 1 8 u - 2 sin ⁡ u + 1 4 v + sin ⁡ v

= 1 8 u - 2 sin ⁡ u + 1 4 2 u + sin ⁡ 2 u = 1 8 u - 2 sin ⁡ u + u 2 + sin ⁡ 2 u 4

Voltando pra variável θ :

1 8 2 θ - 2 sin ⁡ 2 θ + 2 θ 2 + sin ⁡ 4 θ 4 =

= θ 4 - sin ⁡ 2 θ 4 + θ 8 + sin ⁡ 4 θ 32 =

= 3 θ 8 - sin ⁡ 2 θ 4 + sin ⁡ 4 θ 32

Então:

∫ sin 2 ⁡ θ d θ - ∫ sin 4 ⁡ θ d θ = θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4 - 3 θ 8 - sin ⁡ 2 θ 4 + sin ⁡ 4 θ 32 =

= θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4 - 3 θ 8 + sin ⁡ 2 θ 4 - sin ⁡ 4 θ 32 =

= θ 8 - sin ⁡ 4 θ 32

Não esquecendo da constante:

θ 8 - sin ⁡ 4 θ 32 + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

  1 - x 2 = cos ⁡ θ   e   x = sin ⁡ θ → arcsin ⁡ x = θ

E que:

sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ → sin ⁡ 4 θ = 2 sin ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sin 2 ⁡ θ

Assim:

θ 8 - sin ⁡ 4 θ 32 + k = arcsin ⁡ x 8 - 1 32 × 2 sin ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ + k =

= arcsin ⁡ x 8 - 1 32 × 2 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ - sin ⁡ θ + k =

arcsin ⁡ x 8 - 1 8 × x 1 - x 2 1 - x 2 2 - x 2 + k

arcsin ⁡ x 8 - 1 8 × x 1 - x 2 1 - x 2 - x 2 + k

= arcsin ⁡ x 8 - 1 8 × x 1 - x 2 1 - 2 x 2 + k

Temos, então:

∫ 1 4 - x 2 d x = 1 8 arcsin ⁡ x - x 1 - x 2 1 - 2 x 2 + k

Resposta

∫ 1 4 - x 2 d x = 1 8 arcsin ⁡ x - x 1 - x 2 1 - 2 x 2 + k

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