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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1h

Calcule

int x^2 sqrt(1 - x^2) d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f (x) = sqrt(1 - x^2)

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo theta como esse:

Agora imagine que a hipotenusa vale 2, e um dos catetos vale x , concorda comigo que o outro vai valer sqrt(1 - x^2) ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que (sqrt(1 - x^2))/(1) = cos theta então (x)/(1) = sin theta -> d x = cos theta d theta

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

int x^2 sqrt(1 - x^2) d x = int sin^2 theta xx cos theta xx c o s theta d theta = int sin^2 theta cos^2 theta d theta

= int sin^2 theta (1 - sin^2 theta) d theta = int sin^2 theta d theta - int sin^4 theta d theta

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Podemos, agora, integrar:

int sin^2 theta d theta - int sin^4 theta d theta

Lembrando que:

sin^2 theta = (1)/(2) (1 - cos 2 theta)

int sin^2 theta d theta = int (1)/(2) (1 - cos 2 theta) d theta = (1)/(2) int (1 - cos 2 theta) d theta

Se fizermos a substituição:

u = 2 theta -> d u = 2 d theta

Então:

(1)/(2) int (1 - cos 2 theta) d theta = (1)/(2) int (1)/(2) (1 - cos u) d u = (1)/(4) int (1 - cos u) d u = (1)/(4) (u - sin u)

Voltando pra variável theta :

int sin^2 theta d theta = (1)/(4) (u - sin u) + k = (1)/(4) (2 theta - sin 2 theta) + k = (theta)/(2) - (sin 2 theta)/(4) + k

Já a integral:

int sin^4 theta d theta = int ((1)/(2) (1 - cos 2 theta))^2 d theta = int (1)/(4) (1 - 2 cos 2 theta + cos^2 2 theta) d theta =

(1)/(4) int (1 - 2 cos 2 theta + cos^2 2 theta) d theta

Vamos fazer a substituição u = 2 theta -> d u = 2 d theta

(1)/(4) int (1 - 2 cos 2 theta + cos^2 2 theta) d theta = (1)/(4) int (1)/(2) (1 - 2 cos u + cos^2 u) d u =

(1)/(8) int (1 - 2 cos u + cos^2 u) d u =

Agora temos que lembrar que cos^2 u = (1)/(2) (1 + cos 2 u)

(1)/(8) int (1 - 2 cos u + (1)/(2) (1 + cos 2 u)) d u = (1)/(8) [int d u - 2 int cos u d u + (1)/(2) int ( 1 + cos 2 u ) d u] =

(1)/(8) [u - 2 sin u + (1)/(2) int ( 1 + cos 2 u ) d u]

Novamente, substituição v = 2 u -> d v = 2 d u :

(1)/(8) [u - 2 sin u + (1)/(4) int (1 + cos v) d v] = (1)/(8) [u - 2 sin u + (1)/(4) (v + sin v)]

= (1)/(8) [u - 2 sin u + (1)/(4) (2 u + sin 2 u)] = (1)/(8) [u - 2 sin u + ((u)/(2) + (sin 2 u)/(4))]

Voltando pra variável theta :

(1)/(8) [2 theta - 2 sin 2 theta + ((2 theta)/(2) + (sin 4 theta)/(4))] =

= (theta)/(4) - (sin 2 theta)/(4) + (theta)/(8) + (sin 4 theta)/(32) =

= (3 theta)/(8) - (sin 2 theta)/(4) + (sin 4 theta)/(32)

Então:

int sin^2 theta d theta - int sin^4 theta d theta = (theta)/(2) - (sin 2 theta)/(4) - [(3 theta)/(8) - (sin 2 theta)/(4) + (sin 4 theta)/(32)] =

= (theta)/(2) - (sin 2 theta)/(4) - (3 theta)/(8) + (sin 2 theta)/(4) - (sin 4 theta)/(32) =

= (theta)/(8) - (sin 4 theta)/(32)

Não esquecendo da constante:

(theta)/(8) - (sin 4 theta)/(32) + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , pra isso vamor lembrar que:

sqrt(1 - x^2) = cos theta e x = sin theta -> arcsin (x) = theta

E que:

sin 2 theta = 2 sin theta cos theta -> sin 4 theta = 2 sin 2 theta cos 2 theta

cos 2 theta = cos^2 theta - sin^2 theta

Assim:

(theta)/(8) - (sin 4 theta)/(32) + k = (arcsin x)/(8) - (1)/(32) xx 2 sin 2 theta cos 2 theta + k =

= (arcsin x)/(8) - (1)/(32) xx 2 (2 sin theta cos theta) (cos^2 theta - sin theta) + k =

(arcsin x)/(8) - (1)/(8) xx (x sqrt(1 - x^2)) ((sqrt(1 - x^2))^2 - x^2) + k

(arcsin x)/(8) - (1)/(8) xx (x sqrt(1 - x^2)) (1 - x^2 - x^2) + k

= (arcsin x)/(8) - (1)/(8) xx (x sqrt(1 - x^2)) (1 - 2 x^2) + k

Temos, então:

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = (1)/(8) [arcsin x - (x sqrt(1 - x^2)) (1 - 2 x^2)] + k

Resposta

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = (1)/(8) [arcsin x - (x sqrt(1 - x^2)) (1 - 2 x^2)] + k

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