Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 58
Calcule a integral definida.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que calcular a integral definida dada por:
Parece complicado?
Quando temos uma integral definida onde temos que integrar uma função em um intervalo , a primeira coisa a se fazer é analisar o domínio da função ...
- Se for contínua e definida em todo o intervalo , podemos seguir para o cálculo da integral.
- Mas se tiver uma singularidade (uma indefinição) em um ponto , que pertence ao intervalo podemos afirmar que a integral de diverge.
Se nesse caso, a primeira opção for válida, podemos imaginar que calcular a integral dessa função vai ser muito difícil. Mas para facilitar nossa vida, podemos aplicar o método da substituição:
Esse método consiste em substituir parte da função por uma variavel e fazer uma mudança de variáveis na integral seguindo um passa-a-passo.
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Substituir os limites de integração de em para obter os limites de integração em .
- Calcular a integral!
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então temos que fazer várias questões pra ficarmos craques!
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa integral é dada por:
E nossa função de integração é dada por:
Sabemos que a função cossecante é indeterminada nos múltiplos de , ou seja:
Nosso intervalo de integração é dado por então esses pontos onde é indefinido não estão englobados no intervalo de integração.
Portanto, podemos afirmar que é integral no nosso intervalo de integração.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para aplicar o método de substituição, podemos chamar a função dentro do cossecante de .
Derivando e isolando em um lado da igualdade:
Também temos que substituir os limites de integração:
Quando .
Quando .
Agora substituímos , e os limites de integração na nossa integral.
Show?
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos lembrar do Teorema Fundamental:
No nosso caso, temos:
Aplicando os limites de integração:
Com isso, voltando para nossa integral do problema...
É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!