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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 05

Calcule a Integral abaixo:

5 - int sen^3 x d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

int s e n^2 x s e n x d x

Dado pela identidade trigonométrica, s e n^2 x = 1 - cos^2 x

Assim teremos:

int ( 1 - cos^2 x ) s e n (x) d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = cos (x)

d u = - s e n ( x )

d x = (1)/(d u) = (1)/(- s e n ( x ))

Substituindo teremos:

int ( 1 - cos^2 x ) * s e n x * - (1)/(s e n x) d u

Resolvendo a integral temos:

int ( 1 - cos^2 x ) - (s e n x)/(s e n x) d u

int ( 1 - cos^2 x ) * - 1 d u = int - 1 ( 1 - cos^2 x ) d u = int - 1 + cos^2 x d u

Substituindo por udu, teremos:

int - 1 + u^2 d u

Passo 2

Resolvendo a integral:

int - 1 + u^2 d u = - u + (u^3)/(3) + c

Substituindo para u = cos x

- cos x + (cos^3 x)/(3) + c

Resposta

- cos x + (cos^3 x)/(3) + c

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