Calcule a Integral abaixo:

5 - ∫ sen 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

∫ s e n 2 x   s e n   x   d x

Dado pela identidade trigonométrica, s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Assim teremos:

∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) s e n x d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = cos ⁡ x

d u =   - s e n   ( x )

d x = 1 d u = 1 - s e n ( x )

Substituindo teremos:

∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) ⋅ s e n   x ⋅ - 1 s e n   x d u

Resolvendo a integral temos:

∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) - s e n   x s e n   x d u

∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) ⋅   - 1   d u = ∫ - 1 ( 1 - cos 2 ⁡ x )   d u = ∫ - 1 + cos 2 ⁡ x   d u  

Substituindo por udu, teremos:

∫ - 1 + u 2   d u

Passo 2

Resolvendo a integral:

∫ - 1 + u 2   d u =   - u + u 3 3 + c

Substituindo para   u = cos ⁡ x

- cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + c

Resposta

- cos ⁡ x + cos 3 ⁡ x 3 + c

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