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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 79

Calcule a integral definida.

int_1^(1 0) log sqrt(e x) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Antes de pensarmos na integral, vamos mudar a base do logaritmo para obtermos um l n que sabemos brincar bastante (não sabemos brincar com base 10). Para isso você precisa lembrar da fórmula de mudança de base:

log a = (ln a)/(ln 10)

Assim,

I = int_1^(10) log sqrt(e x) d x = (1)/(ln 10) int_1^(10) ln sqrt(e x) d x

Além disso, vale lembrar que

ln sqrt(e x) = ln (e x)^((1)/(2)) = (1)/(2) ln e x = (1)/(2) ln e + (1)/(2) ln x = (1)/(2) + (1)/(2) ln x

Assim,

I = (1)/(2 ln 10) int_1^(10) (1 + ln x) d x

Portanto,

I = (1)/(2 ln 10) (9 + I_1) ,

onde

I_1 = int_1^(10) ln x d x

Passo 2

Para calcular I_1 vamos usar integração por partes com:

int u d v = u v - int v d u

Fazendo u = ln x e d v = d x :

d u = (1)/(x) d x e v = x

Portanto,

I_1 = int_1^(10) ln x d x = (x ln x)_1^(10) - int_1^(10) x * (1)/(x) d x

Logo,

I_1 = 10 ln 10 - 9

Passo 3

Agora podemos achar I :

I = (1)/(2 ln 10) (9 + I_1) = (1)/(2 ln 10) ( 9 + 10 ln 10 - 9 )

Assim,

I = (10 ln 10)/(2 ln 10) = 5

Resposta

5

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