Calcule a integral definida.

∫ 1 1 0 log ⁡ e x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Antes de pensarmos na integral, vamos mudar a base do logaritmo para obtermos um l n que sabemos brincar bastante (não sabemos brincar com base 10). Para isso você precisa lembrar da fórmula de mudança de base:

log ⁡ a = ln ⁡ a ln ⁡ 10

Assim,

I = ∫ 1 10 log ⁡ e x   d x = 1 ln ⁡ 10 ∫ 1 10 ln ⁡ e x   d x

Além disso, vale lembrar que

ln ⁡ e x = ln ⁡ e x 1 2 = 1 2 ln ⁡ e x = 1 2 ln ⁡ e + 1 2 ln ⁡ x = 1 2 + 1 2 ln ⁡ x

Assim,

I = 1 2 ln ⁡ 10 ∫ 1 10 1 + ln ⁡ x   d x

Portanto,

I = 1 2 ln ⁡ 10 9 + I 1 ,

onde

I 1 = ∫ 1 10 ln ⁡ x   d x

Passo 2

Para calcular I 1 vamos usar integração por partes com:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Fazendo u = ln ⁡ x e d v = d x :

d u = 1 x d x         e           v = x

Portanto,

I 1 = ∫ 1 10 ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x 1 10 - ∫ 1 10 x ⋅ 1 x d x

Logo,

I 1 = 10 ln ⁡ 10 - 9

Passo 3

Agora podemos achar I :

I = 1 2 ln ⁡ 10 9 + I 1 = 1 2 ln ⁡ 10 ( 9 + 10 ln ⁡ 10 - 9 )

Assim,

I = 10 ln ⁡ 10 2 ln ⁡ 10 = 5

Resposta

5

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