Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 8
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
Passo 1
A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral
e sem seguida tomar o limite .
Para calcular essa integral vamos usar partes:
Passo 2
Tomando e , temos que e :
Assim,
Para essa segunda integral nós usaremos partes novamente com e . Assim, e :
Portanto,
Passo 3
Agora vamos tomar o limite com . Já sabemos que o termo . Para os termos do tipo , note que se trata de uma indeterminação que pode ser reescrita como
Aplicando a regra de L’Hospital sucessivas vezes, o numerado, como é um polinômio, vai diminuindo o seu grau, mas o denominador mantém a exponencial. Quando o polinômio atingir o grau zero, teremos que
Assim, todos os termos do tipo .
Desta forma, temos que
A integral converge para .