Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 14
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Opa, bora resolver essa questão 😊?
Nesse problema temos que calcular a integral indefinida
Mas o integrando parece uma função complicada, né? Além disso, ele não se parece com nenhum caso presente na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo.
🤔 Bem, então como resolvemos essa questão?
Utilizando a Regra da Substituição! Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?
Regra da Substituição:
Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?
No próximo Passo, vamos escolher as funções e de maneira conveniente, de forma a reescrevermos a integral dada como uma beeeeem mais fácil de calcular, combinado?
💡 Vamos relembrar de algumas propriedades das integrais indefinidas que vão nos ajudar a resolver essa questão.
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
- Regra da Potência: para qualquer a integral indefinida da função é a função
onde é uma constante qualquer.
Bora lá!
Passo 2
Perceba que como
e a função também aparece no integrando, então uma boa escolha para e é dada por
e
pois
e, além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja,
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Como relembramos no Passo temos que
Logo,
ou seja, temos que
onde é uma constante qualquer.
Passo 3
⚠️ Cuidado que ainda não terminamos!
A igualdade
não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir
Fazendo isso, vamos ter que
ou seja, a integral do enunciado é dada por
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.