Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 15

Calcule a integral definida

int_0^(pi) ( 2 sen x + 3 cos x + 1 ) d x

usando os resultados:

int_0^(pi) sen x d x = 2 int_0^(pi) cos x d x = 0 int_0^(pi) sin^2 x d x = (1)/(2) pi

Passo 1

O que queremos aqui é decompor a integral, colocando-a em termos de int_0^(pi) sen x d x e int_0^(pi) cos x d x pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

int_a^b [f (x) + g (x)] d x = int_a^b f (x) d x + int_a^b g (x) d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:

int_a^b k f (x) d x = k int_a^b f (x) d x

Ou seja, podemos retirar um número constante para fora da integral. Usando essas duas propriedades, separaremos a integral.

Passo 2

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para separar a integral em três:

int_0^(pi) (2 sen x + 3 cos x + 1) d x = int_0^(pi) 2 sen x d x + int_0^(pi) 3 cos x d x + int_0^(pi) d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_0^(pi) 2 sen x d x + int_0^(pi) 3 cos x d x + int_0^(pi) d x = 2 int_0^(pi) sen x d x + 3 int_0^(pi) cos x d x + int_0^(pi) d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 3

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

2 int_0^(pi) sen x d x + 3 int_0^(pi) cos x d x + int_0^(pi) d x = 2 * 2 + 3 * 0 + 1 (pi - 0) = 4 + pi .

Resposta

int_0^(pi) ( 2 sen x + 3 cos x + 1 ) d x = 4 + pi

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que h seja integrável e que ∫ - 1 1 h rd r = 0 e ∫ - 1 3 h rd r = 6 . Calcule: ∫ 1 3 h rd r - ∫ 3 1 h ud u
Expresse o limite como integral definida. lim | | P | | → 0 ⁡ ∑ k = 1 n 4 - c k 2 Δ x k Onde P é uma partição de [ 0,1 ]
Suponha que f seja integrável e que ∫ 0 3 f zd z = 3 e ∫ 0 4 f zd z = 7 . Calcule: ∫ 3 4 f zd z ∫ 4 3 f td t
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 2 f x d x = - 4 ∫ 1 5 f x d x = 6 ∫ 1 5 g x d x = 8 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 2 2 g x d x ∫ 5 1 g x d x ∫ 1 2 3 f x d x ∫ 2 5 f x d x
Suponha que f e g sejam integráveis e que ∫ 1 9 f x d x = - 1 ∫ 7 9 f x d x = 5 ∫ 7 9 h x d x = 4 Use as regras na Tabela 5.4 para determinar ∫ 1 9 - 2 f x d x ∫ 7 9 f x + h x d x ∫ 7 9 2 f x - 3 h x