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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 15

Calcule a integral definida

int_0^(pi) ( 2 sen x + 3 cos x + 1 ) d x

usando os resultados:

int_0^(pi) sen x d x = 2 int_0^(pi) cos x d x = 0 int_0^(pi) sin^2 x d x = (1)/(2) pi

Passo 1

O que queremos aqui é decompor a integral, colocando-a em termos de int_0^(pi) sen x d x e int_0^(pi) cos x d x pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:

Se as funções f e g forem integráveis no intervalo [ a , b ] então f + g será integrável no intervalo [ a , b ] e:

int_a^b [f (x) + g (x)] d x = int_a^b f (x) d x + int_a^b g (x) d x

Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:

int_a^b k f (x) d x = k int_a^b f (x) d x

Ou seja, podemos retirar um número constante para fora da integral. Usando essas duas propriedades, separaremos a integral.

Passo 2

Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para separar a integral em três:

int_0^(pi) (2 sen x + 3 cos x + 1) d x = int_0^(pi) 2 sen x d x + int_0^(pi) 3 cos x d x + int_0^(pi) d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_0^(pi) 2 sen x d x + int_0^(pi) 3 cos x d x + int_0^(pi) d x = 2 int_0^(pi) sen x d x + 3 int_0^(pi) cos x d x + int_0^(pi) d x

Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 3

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

2 int_0^(pi) sen x d x + 3 int_0^(pi) cos x d x + int_0^(pi) d x = 2 * 2 + 3 * 0 + 1 (pi - 0) = 4 + pi .

Resposta

int_0^(pi) ( 2 sen x + 3 cos x + 1 ) d x = 4 + pi

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