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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 27

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ π / 6 π / 3 sen ⁡ x   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a ,   b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = sen ⁡ x no intervalo [ π 6 , π 3 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Sabemos que a função f x = sen ⁡ x é crescente para x ∈ [ - π 2 , π 2 ] , e o intervalo de integração que temos está contido neste outro intervalo. Então, já que a função é crescente, seu mínimo acontecerá no início do intervalo, em x = π 6 , e seu máximo no final, em x = π 3 . Temos então m = f π 6 = sen ⁡ π 6 = 1 2 e M = f π 3 = sen ⁡ π 3 = 3 2 .   Como já temos os valores m e M , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ π 6 , π 3 ] , m = 1 2 e M = 3 2 , sabemos então que:

m π 3 - π 6 ≤   ∫ π / 6 π / 3 sen ⁡ x   d x ≤ M π 3 - π 6

⇒ 1 2 ⋅ ( 2 π - π 6 ) ≤   ∫ π / 6 π / 3 sen ⁡ x   d x ≤ 3 2 ⋅ ( 2 π - π 6 )

⇒ π 12 ≤ ∫ π / 6 π / 3 sen ⁡ x   d x ≤ 3 π 12

Resposta

∫ π / 6 π / 3 sen ⁡ x   d x ∈ [ π 12 , 3 π 12 ]

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