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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 17

Dado que ∫ - 1 2 x d x = 3 2 , ache o valor médio da função identidade no intervalo [ - 1,2 ] . Ache também o valor de x para o qual ocorre o valor médio. Dê uma interpretação geométrica dos resultados.

Passo 1

O teorema do valor médio para integrais diz que se temos uma função f contínua num intervalo [ a , b ] , vai existir um número χ dentro do intervalo para o qual:

∫ a b f x d x = f ( χ ) ( b - a )

Esse valor f ( χ ) é considerado o valor médio da função no intervalo dado, então achamos o valor médio pela seguinte fórmula:

f χ = ∫ a b f x d x b - a

Passo 2

Aplicando o teorema, achamos f ( χ ) :

f χ = ∫ - 1 2 x d x 2 - - 1 = 3 2 3 = 1 2

Então 1 2 é o valor médio da função f x = x no intervalo [ - 1,2 ] . Além disso, o valor de x para o qual o valor médio ocorre é x = 1 2 , nesse caso exatamente o valor que está no meio do intervalo.

Passo 3

Podemos interpretar geometricamente o resultado mostrando o gráfico de f x = x no intervalo dado e seu valor médio f 1 2 = 1 2 . O valor da integral será exatamente a área do retângulo com base indo de - 1,0 e ( 2,0 ) e de altura 1 2 .

Resposta

f 1 2 = 1 2

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