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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 3

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

∫ x 2 x 3 + 1   d x ,       u = x 3 + 1

Passo 1

Faaaaala, pessoal! Tudo certinho 😎?

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida

∫ x 2 x 3 + 1   d x ,

usando a substituição u = x 3 + 1 , certo?

Mas isso já diz pra gente que vamos calcular essa integral utilizando a Regra da Substituição. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?

Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g x como uma variável u , ou seja, u = g ( x ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ f u d u ,  

desde que a imagem de g ( x ) esteja contida no domínio I de f .

🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?

No próximo Passo, vamos assumir

u = g x =   x 3 + 1 ,

conforme pede o enunciado, e escolher a função f de maneira conveniente, transformando a integral dada no enunciado em uma integral beeeeem mais fácil de calcular.

💡 Vamos relembrar de algumas propriedades das integrais indefinidas que vão nos ajudar a resolver essa questão.

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f x d x = c   ∫ f x d x .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função x n é a função

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, já temos tudo o que precisamos. Agora, bora resolver essa questão 🤓!

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral indefinida

∫ x 2 x 3 + 1   d x ,

podemos ver que, se

f x = x

e

u = g x =   x 3 + 1 ,

então

f g x = x 3 + 1 .

Além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = 3 x 2 ,

ou seja

d u = 3 x 2   d x .

Logo, vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ x 3 + 1   3 x 2 d x =   3 ∫ x 3 + 1   x 2 d x ,

ou seja,

1 3 ∫ f g x g ' x   d x =   ∫ x 2 x 3 + 1   d x .

Dessa forma, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como

∫ x 2 x 3 + 1   d x = 1 3 ∫ f u d u ,

onde

1 3 ∫ f u   d u = 1 3 ∫ u   d u .

Lembrando que u = u 1 2 , então observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né?

Pela Regra da Potência, temos que

∫ u   d u = u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C 1 = 2 3 u 3 2 + C 1 .

Logo,

∫ x 2 x 3 + 1   d x = 1 3 ∫ u   d u = 1 3 ⋅ 2 3 u 3 2 + C 1 ,

ou seja, temos que

∫ x 2 x 3 + 1   d x = 2 u 3 2 9 + C 2 ,

onde C 2 = 1 3 C 1 é uma constante qualquer.

Passo 3

Cuidado, ainda não terminamos! A igualdade

∫ x 2 x 3 + 1   d x = 2 u 3 2 9 + C 2

não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g x =   x 3 + 1 .  

Fazendo isso, vamos ter que

∫ x 2 x 3 + 1   d x = 2 u 3 2 9 + C 2 =   2 x 3 + 1 3 2 9 + C 2 ,

ou seja, a integral do enunciado vale ∫ x 2 x 3 + 1   d x =   2 x 3 + 1 3 2 9 + C 2 .

Resposta

A integral é dada por:

∫ x 2 x 3 + 1   d x = 2 x 3 + 1 3 2 9 + C 2 .

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