Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ x - 1 x 5 d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Antes vamos só dar uma arrumada na integral:

∫ x - 1 x 5 d x = ∫ x - 1 x 4 x d x = ∫ 1 x 2 x - 1 x d x = ∫ 1 x 2 1 - 1 x d x

Aqui no nosso caso temos a composta de x com 1 - 1 x , então vamos fazer

u = 1 - 1 x

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 1 - 1 x → d u = 1 - 1 x ' d x = 1 x 2 d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 x 2 1 - 1 x d x

Temos então que

∫ 1 x 2 u d x

Agora e o resto da integral? Dá uma olhada na expressão do d u ! É igualzinho, então só substituir na integral

∫ 1 x 2 u d x = ∫ u d u = ∫ u 1 2 d u

Passo 4

Agora podemos resolver a integral acima usando a tabela de primitivas:

∫ u 1 2 d u = 2 3 u 3 2 + C = 2 u u 3 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ x - 1 x 5 d x = 2 1 - 1 x 1 - 1 x 3 + C

Resposta

2 1 - 1 x 1 - 1 x 3 + C

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