Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 16
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Fala aí, galerinha!
Nesse problema temos que calcular a integral:
Tem ideia de como fazemos isso?
Podemos imaginar que calcular essa integral na forma como está vai ser extremamente dificil.
Então para facilitar nossa vida podemos aplicar o método da substituição:
Pra isso, podemos seguir um scriptzinho:
- Substituir parte da função por .
- Derivar em relação a para obter e isolar em um lado da igualdade.
- Substituir e na integral.
- Calcular a integral em relação a .
- Voltar o resultado para substituindo de volta para .
Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Nossa função de integração é dada por:
Então podemos substituir a função dentrodo seno por .
Derivando em relação a e isolando em um lado da igualdade:
Substituindo e na integral...
Simplificando ...
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora essa integral ficou muito mais simples, não é?
Para resolvê-la, basta lembrarmos do Teorema Fundamental do Cálculo:
Ou seja:
Por fim, temos que voltar de para , então aplicamos a substituição de volta.
E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!