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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 45c

  1. Prove o teorema 7.4.6 tomando ∫ c o s e c u d u = ∫ sec ⁡ u - π 2 d u e usando o teorema 7.4.5 e as identidades trigonométricas.

Passo 1

Da teoria, temos que o teorema 7.4.6. diz o seguinte:

∫ c o s e c u d u = ln ⁡ c o s e c u - c o t g ( u ) + C

Vamos prová-lo! A primeira coisa que devemos fazer é reescever a integral, pois sabmeos das relações trigonométricas que csc ⁡ u = sec ⁡ u - π 2 .

f u = ∫ c o s e c ⁡ ( u ) d u

Devemos fazer é reescever a integral, multiplicando por c o s e c ( u ) - c o t g ( u ) o numerado e o denominador.

f u = ∫ c o s e c u 1 * c o s e c u - c o t g u c o s e c u - c o t g u d u f u = ∫ c o s e c 2 u - c o s e c u c o t g u c o s e c u - c o t g ( u ) d u

Passo 2

Para resolver a integral, vamos realizar uma substituição de variáveis. Seja a = c o s e c u - c o t g ( u ) → d a = ( c o s e c 2 u - c o s e c u c o t g u ) d u . Substituindo na integral temos:

f a = ∫ d a a

Resolvendo a integral:

f a = ln ⁡ a + C Voltando para a variável original:

f u = ln ⁡ c o s e c u - c o t g ( u ) + C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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