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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 17

Calcule a integral indefinda

int (d x)/(x^2 - x + 2)

Passo 1

int (d x)/(x^2 - x + 2)

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a^2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

x^2 - x + 2

Primeiro, vamos olhar so p x^2 - x , ele deve ficar parecido com a^2 - 2 a b + b^2 .

a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2

x^2 - x

Comaprando, teremos

a = x

b = (1)/(2)

Agora, temos que somar e subtrair b^2 que achamos da equação original

x^2 - x + 2 + ((1)/(2))^2 - ((1)/(2))^2

Organizando

x^2 - x + (1)/(4) + 2 - (1)/(4) = x^2 - x + (1)/(4) + (7)/(4) = (x - (1)/(2))^2 + (7)/(4)

Estamos quaaaase com o a^2 + 1 , para isso vamos colocar o (7)/(4) em evidência:

(x - (1)/(2))^2 + (7)/(4) = (7)/(4) (((x - (1)/(2))^2)/((7)/(4)) + 1) = (7)/(4) ((4)/(7) (x - (1)/(2))^2 + 1)

A nossa integral fica:

int (d x)/(x^2 - x + 2) = int (d x)/((7)/(4) ((4)/(7) (x - (1)/(2))^2 + 1)) = (4)/(7) int (d x)/(((4)/(7) (x - (1)/(2))^2 + 1))

Passo 2

Com aquela integral:

(4)/(7) int (d x)/(((4)/(7) (x - (1)/(2))^2 + 1))

Vamos fazer a substituição

(4)/(7) (x - (1)/(2))^2 = a^2

a = sqrt((4)/(7)) (x - (1)/(2)) -> d a = sqrt((4)/(7)) d x -> d x = sqrt((7)/(4)) d a

A nossa integral em a vai ser:

(4)/(7) int (d x)/(((4)/(7) (x - (1)/(2))^2 + 1)) = (4)/(7) int (sqrt((7)/(4)) d a)/((a^2 + 1)) = (4)/(7) sqrt((7)/(4)) int (d a)/((a^2 + 1))

Essa integral em a é a tg^(- 1) a , então teremos:

(4)/(7) sqrt((7)/(4)) int (d a)/((a^2 + 1)) = (4)/(7) sqrt((7)/(4)) tg^(- 1) a + C

Voltando para x :

(4)/(7) sqrt((7)/(4)) tg^(- 1) a + C = (4)/(7) sqrt((7)/(4)) tg^(- 1) (sqrt((4)/(7)) (x - (1)/(2))) + C

Resposta

(4)/(7) sqrt((7)/(4)) tg^(- 1) (sqrt((4)/(7)) (x - (1)/(2))) + C

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