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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 6

Calcule a integral indefinida.

int (1)/(t^4 + 1) d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Essa é uma daquelas integrais que você vai tentar todas as substituições clássicas possíveis e não vai sair do lugar (acredite, eu tentei!). Para resolver o problema, você precisa ter uma sacada mágica:

t^4 + 1 = (t^2)^2 + 1 = (t^2)^2 + 2 t^2 + 1 - 2 t^2 = (t^2 + 1) - (sqrt(2) t)^2

Assim, temos que

t^4 + 1 = (t^2 + sqrt(2) t + 1) ( t^2 - sqrt(2) t + 1 )

Agora vamos para as frações parciais:

(1)/(t^4 + 1) = (1)/((t^2 + sqrt(2) t + 1) ( t^2 - sqrt(2) t + 1 ))

Os dois fatores são irredutíveis, de modo que

(1)/((t^2 + sqrt(2) t + 1) ( t^2 - sqrt(2) t + 1 )) = (A t + B)/((t^2 + sqrt(2) t + 1)) + (C t + D)/(( t^2 - sqrt(2) t + 1 ))

Portanto,

(A t + B) (t^2 - sqrt(2) t + 1) + (C t + D) (t^2 + sqrt(2) t + 1) = 1

Logo,

A t^3 - A sqrt(2) t^2 + A t + B t^2 - B sqrt(2) t + B + C t^3 + C sqrt(2) t^2 + C t + D t^2 + D sqrt(2) t + D = 1

Portanto,

{[[A + C = 0],[- A sqrt(2) + B + C sqrt(2) + D = 0],[A - B sqrt(2) + C + D sqrt(2) = 0],[B + D = 1]])

Olhando para terceira equação, temos que

A + C + sqrt(2) (D - B) = 0

Da primeira equação, sabemos que A + C = 0 , de modo que sqrt(2) (D - B) = 0 , de modo que B = D . Indo para a última equação:

B + D = 2 B = 1 => B = D = (1)/(2)

Agora, indo para segunda equação, temos que

sqrt(2) (C - A) + 1 = 0 => A - C = (1)/(sqrt(2))

Mas sabemos que A = - C , de modo que

- 2 C = (1)/(sqrt(2)) => A = - C = (1)/(2 sqrt(2))

Assim, temos que

(1)/(t^4 + 1) = ((1)/(2 sqrt(2)) t + 1)/((t^2 + sqrt(2) t + 1)) + (- (1)/(2 sqrt(2)) t + 1)/(( t^2 - sqrt(2) t + 1 ))

Passo 2

Depois da aventura que foi a parte das frações parciais, vamos as integrais!

I = int (1)/(t^4 + 1) d t = int (((1)/(2 sqrt(2)) t + 1)/((t^2 + sqrt(2) t + 1)) + (- (1)/(2 sqrt(2)) t + 1)/((t^2 - sqrt(2) t + 1))) d t

Agora precisamos completar os quadrados nos denominadores:

t^2 + sqrt(2) t + 1 = t^2 + sqrt(2) t + (1)/(2) - (1)/(2) + 1 = (t + (1)/(sqrt(2)))^2 + (1)/(2)

Analogamente:

t^2 - sqrt(2) t + 1 = (t - (1)/(sqrt(2)))^2 + (1)/(2)

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:

I = I_1 + I_2 ,

onde

I_1 = int ((1)/(2 sqrt(2)) t + 1)/((t + (1)/(sqrt(2)))^2 + (1)/(2)) d t e I_2 = int (- (1)/(2 sqrt(2)) t + 1)/((t - (1)/(sqrt(2)))^2 + (1)/(2)) d t

Para achar I_1 , faremos u = t + 1 // sqrt(2) , assim, temos que

t = u - (1)/(sqrt(2)) => (1)/(2 sqrt(2)) t + 1 = (1)/(2 sqrt(2)) u - (1)/(4) + 1 = (1)/(2 sqrt(2)) u + (3)/(4)

Portanto,

I_1 = int ((1)/(2 sqrt(2)) u + (3)/(4))/(u^2 + (1)/(2)) d u

Agora, vamos fazer f = u sqrt(2) , de modo que d u = d f // sqrt(2) . Além disso,

u^2 + (1)/(2) = (f^2)/(2) + (1)/(2) = (1)/(2) ( f^2 + 1 )

Assim,

I_1 = 2 int ((f)/(4) + (3)/(4))/(f^2 + 1) * (d f)/(sqrt(2)) = (1)/(2 sqrt(2)) int (f + 3)/(f^2 + 1) d f

Portanto,

I_1 = (1)/(2 sqrt(2)) ((1)/(2) int (2 f)/(f^2 + 1) d f + 3 int (1)/(f^2 + 1) d f)

Essas integrais sabemos fazer:

I_1 = (1)/(2 sqrt(2)) ((1)/(2) ln (f^2 + 1) + 3 arctan f) = (1)/(2 sqrt(2)) (ln sqrt(1 + f^2) + 3 arctan f)

Passando de volta para variável u :

I_1 = (1)/(2 sqrt(2)) (ln sqrt(1 + 2 u^2) + 3 arctan (u sqrt(2)))

Por fim, voltando à variável t :

I_1 = (1)/(2 sqrt(2)) (ln sqrt(1 + 2 (t + (1)/(sqrt(2)))^2) + 3 arctan (t sqrt(2) + 1))

Passo 4

Agora vamos procurar I_2 fazendo u = t - 1 // sqrt(2) :

t = u + (1)/(sqrt(2)) => - (1)/(2 sqrt(2)) t + 1 = - (1)/(2 sqrt(2)) u - (1)/(4) + 1 = - (1)/(2 sqrt(2)) u + (3)/(4)

Assim,

I_2 = int (- (1)/(2 sqrt(2)) t + 1)/((t - (1)/(sqrt(2)))^2 + (1)/(2)) d t = int (- (1)/(2 sqrt(2)) u + (3)/(4))/(u^2 + (1)/(2))

Agora, vamos fazer f = u sqrt(2) , de modo que d u = d f // sqrt(2) . Além disso,

u^2 + (1)/(2) = (f^2)/(2) + (1)/(2) = (1)/(2) ( f^2 + 1 )

Assim,

I_2 = 2 int (- (f)/(4) + (3)/(4))/(f^2 + 1) * (d f)/(sqrt(2)) = (1)/(2 sqrt(2)) int (- f + 3)/(f^2 + 1) d f

Portanto,

I_2 = (1)/(2 sqrt(2)) (- (1)/(2) int (2 f)/(f^2 + 1) d f + 3 int (1)/(f^2 + 1) d f)

Essas integrais sabemos fazer:

I_2 = (1)/(2 sqrt(2)) (- (1)/(2) ln (f^2 + 1) + 3 arctan f) = (1)/(2 sqrt(2)) (- ln sqrt(1 + f^2) + 3 arctan f)

Passando de volta para variável u :

I_2 = (1)/(2 sqrt(2)) (- ln sqrt(1 + 2 u^2) + 3 arctan (u sqrt(2)))

Por fim, voltando à variável t :

I_2 = (1)/(2 sqrt(2)) (- ln sqrt(1 + 2 (t - (1)/(sqrt(2)))^2) + 3 arctan (t sqrt(2) - 1))

Assim,

I = I_1 + I_2 = (1)/(2 sqrt(2)) (ln sqrt(1 + 2 (t + (1)/(sqrt(2)))^2) + 3 arctan (t sqrt(2) + 1) - ln sqrt(1 + 2 (t - (1)/(sqrt(2)))^2) + 3 arctan (t sqrt(2) - 1))

Podemos juntar os logaritmos:

ln sqrt(1 + 2 (t + (1)/(sqrt(2)))^2) - ln sqrt(1 + 2 (t - (1)/(sqrt(2)))^2) = ln sqrt((1 + 2 (t + (1)/(sqrt(2)))^2)/(1 + 2 (t - (1)/(sqrt(2)))^2))

Por outro lado,

(1 + 2 (t + (1)/(sqrt(2)))^2)/(1 + 2 (t - (1)/(sqrt(2)))^2) = (1 + (2)/(2) (t sqrt(2) + 1)^2)/(1 + (2)/(2) (t sqrt(2) - 1)^2)

Logo,

ln sqrt(1 + 2 (t + (1)/(sqrt(2)))^2) - ln sqrt(1 + 2 (t - (1)/(sqrt(2)))^2) = ln sqrt((1 + (t sqrt(2) + 1)^2)/(1 + (t sqrt(2) - 1)^2))

Assim, a solução final do problema será:

I = (1)/(2 sqrt(2)) (ln sqrt((1 + (t sqrt(2) + 1)^2)/(1 + (t sqrt(2) - 1)^2)) + 3 arctan (t sqrt(2) + 1) + 3 arctan (t sqrt(2) - 1)) + C

Ufaaaa!!!! É feio mas é isso.......

Resposta

(1)/(2 sqrt(2)) (ln sqrt((1 + (t sqrt(2) + 1)^2)/(1 + (t sqrt(2) - 1)^2)) + 3 arctan (t sqrt(2) + 1) + 3 arctan (t sqrt(2) - 1)) + C

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