Calcule a integral indefinida.

∫ 1 t 4 + 1   d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Essa é uma daquelas integrais que você vai tentar todas as substituições clássicas possíveis e não vai sair do lugar (acredite, eu tentei!). Para resolver o problema, você precisa ter uma sacada mágica:

t 4 + 1 = t 2 2 + 1 = t 2 2 + 2 t 2 + 1 - 2 t 2 = t 2 + 1 - 2   t 2

Assim, temos que

t 4 + 1 = t 2 + 2   t + 1   ( t 2 - 2   t + 1 )

Agora vamos para as frações parciais:

1 t 4 + 1 = 1 t 2 + 2   t + 1   ( t 2 - 2   t + 1 )

Os dois fatores são irredutíveis, de modo que

1 t 2 + 2   t + 1   ( t 2 - 2   t + 1 ) = A t + B t 2 + 2   t + 1 + C t + D   ( t 2 - 2   t + 1 )

Portanto,

A t + B t 2 - 2   t + 1 + C t + D t 2 + 2   t + 1 = 1

Logo,

A t 3 - A 2 t 2 + A t + B t 2 - B 2 t + B + C t 3 + C 2 t 2 + C t + D t 2 + D 2 t + D = 1

Portanto,

A + C = 0 - A 2 + B + C 2 + D = 0 A - B 2 + C + D 2 = 0 B + D = 1

Olhando para terceira equação, temos que

A + C + 2   D - B = 0

Da primeira equação, sabemos que A + C = 0 , de modo que 2   D - B = 0 , de modo que B = D . Indo para a última equação:

B + D = 2 B = 1 ⇒ B = D = 1 2

Agora, indo para segunda equação, temos que

2   C - A + 1 = 0 ⇒ A - C = 1 2

Mas sabemos que A = - C , de modo que

- 2 C = 1 2 ⇒ A = - C = 1 2 2

Assim, temos que

1 t 4 + 1 = 1 2 2 t + 1 t 2 + 2   t + 1 + - 1 2 2 t + 1   ( t 2 - 2   t + 1 )

Passo 2

Depois da aventura que foi a parte das frações parciais, vamos as integrais!

I = ∫ 1 t 4 + 1   d t = ∫ 1 2 2 t + 1 t 2 + 2   t + 1 + - 1 2 2 t + 1   t 2 - 2   t + 1   d t  

Agora precisamos completar os quadrados nos denominadores:

t 2 + 2   t + 1 = t 2 + 2   t + 1 2 - 1 2 + 1 = t + 1 2 2 + 1 2

Analogamente:

t 2 - 2   t + 1 = t - 1 2 2 + 1 2

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes:

I = I 1 + I 2 ,

onde

I 1 = ∫ 1 2 2 t + 1 t + 1 2 2 + 1 2   d t             e                 I 2 = ∫ - 1 2 2 t + 1 t - 1 2 2 + 1 2   d t

Para achar I 1 , faremos u = t + 1 / 2 , assim, temos que

t = u - 1 2 ⇒ 1 2 2 t + 1 = 1 2 2 u - 1 4 + 1 = 1 2 2 u + 3 4

Portanto,

I 1 = ∫ 1 2 2 u + 3 4 u 2 + 1 2   d u

Agora, vamos fazer f = u 2 , de modo que d u = d f / 2 . Além disso,

u 2 + 1 2 = f 2 2 + 1 2 = 1 2 ( f 2 + 1 )

Assim,

I 1 = 2 ∫ f 4 + 3 4 f 2 + 1 ⋅ d f 2 = 1 2 2 ∫ f + 3 f 2 + 1   d f

Portanto,

I 1 = 1 2 2 1 2 ∫ 2 f f 2 + 1   d f + 3 ∫ 1 f 2 + 1   d f

Essas integrais sabemos fazer:

I 1 = 1 2 2 1 2 ln ⁡ f 2 + 1 + 3 arctan ⁡ f = 1 2 2 ln ⁡ 1 + f 2 + 3 arctan ⁡ f

Passando de volta para variável u :

I 1 = 1 2 2 ln ⁡ 1 + 2 u 2 + 3 arctan ⁡ u 2

Por fim, voltando à variável t :

I 1 = 1 2 2 ln ⁡ 1 + 2 t + 1 2 2 + 3 arctan ⁡ t 2 + 1

Passo 4

Agora vamos procurar I 2 fazendo u = t - 1 / 2 :

t = u + 1 2 ⇒ - 1 2 2 t + 1 = - 1 2 2 u - 1 4 + 1 = - 1 2 2 u + 3 4

Assim,

I 2 = ∫ - 1 2 2 t + 1 t - 1 2 2 + 1 2   d t = ∫ - 1 2 2 u + 3 4 u 2 + 1 2

Agora, vamos fazer f = u 2 , de modo que d u = d f / 2 . Além disso,

u 2 + 1 2 = f 2 2 + 1 2 = 1 2 ( f 2 + 1 )

Assim,

I 2 = 2 ∫ - f 4 + 3 4 f 2 + 1 ⋅ d f 2 = 1 2 2 ∫ - f + 3 f 2 + 1   d f

Portanto,

I 2 = 1 2 2 - 1 2 ∫ 2 f f 2 + 1   d f + 3 ∫ 1 f 2 + 1   d f

Essas integrais sabemos fazer:

I 2 = 1 2 2 - 1 2 ln ⁡ f 2 + 1 + 3 arctan ⁡ f = 1 2 2 - ln ⁡ 1 + f 2 + 3 arctan ⁡ f

Passando de volta para variável u :

I 2 = 1 2 2 - ln ⁡ 1 + 2 u 2 + 3 arctan ⁡ u 2

Por fim, voltando à variável t :

I 2 = 1 2 2 - ln ⁡ 1 + 2 t - 1 2 2 + 3 arctan ⁡ t 2 - 1

Assim,

I = I 1 + I 2 = 1 2 2 ln ⁡ 1 + 2 t + 1 2 2 + 3 arctan ⁡ t 2 + 1 - ln ⁡ 1 + 2 t - 1 2 2 + 3 arctan ⁡ t 2 - 1

Podemos juntar os logaritmos:

ln ⁡ 1 + 2 t + 1 2 2 - ln ⁡ 1 + 2 t - 1 2 2 = ln ⁡ 1 + 2 t + 1 2 2 1 + 2 t - 1 2 2

Por outro lado,

1 + 2 t + 1 2 2 1 + 2 t - 1 2 2 = 1 + 2 2 t 2 + 1 2 1 + 2 2 t 2 - 1 2

Logo,

ln ⁡ 1 + 2 t + 1 2 2 - ln ⁡ 1 + 2 t - 1 2 2 = ln ⁡ 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2 - 1 2

Assim, a solução final do problema será:

I = 1 2 2 ln ⁡ 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2 - 1 2 + 3 arctan ⁡ t 2 + 1 + 3 arctan ⁡ t 2 - 1 + C

Ufaaaa!!!! É feio mas é isso.......

Resposta

1 2 2 ln ⁡ 1 + t 2 + 1 2 1 + t 2 - 1 2 + 3 arctan ⁡ t 2 + 1 + 3 arctan ⁡ t 2 - 1 + C

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