Calcule a Integral:

∫ x 2 x + 1 3 d x

Passo 1

Essa integral deve ser analisada como a integral das frações parciais da função. Se nossa integral é:

∫ x 2 x + 1 3 d x

Teremos que decompor em fatores de x + 1 ; x + 1 2 e   x + 1 3 :

x 2 x + 1 3 = A x + 1 + B x + 1 2 + C x + 1 3

Juntando os termos , temos:

x 2 x + 1 3 = A x + 1 2 + B x + 1 + C x + 1 3

As duas funções possuem o mesmo denominador, podemos dizer que:

x 2 = A x + 1 2 + B x + 1 + C

Ou:

x 2 = A ( x 2 + 2 x + 1 ) + B x + 1 + C

Combinando os termos em comum:

x 2 = A x 2 + 2 A x + B x + A + B + C

x 2 = A x 2 + 2 A + B x + ( A + B + C )

Passo 2

Podemos montar um sistema de equações utilizando os coeficientes com a seguinte aparência:

A x 2 + 2 A + B x + A + B + C

A = 1 2 A + B = 0 A + B + C = 0

Resolvendo o sistema temos que A = 1 ; B = - 2 e C = 1 .

Passo 3

Reconstruindo a equação, temos:

∫ x 2 x + 1 3 d x = ∫ A x + 1 + B x + 1 2 + C x + 1 3 d x

Resolvendo, temos:

∫ x 2 x + 1 3 d x = ∫ A x + 1 d x + ∫ B x + 1 2 d x + ∫ C x + 1 3 d x

Substituindo os termos, temos:

∫ x 2 x + 1 3 d x = ∫ 1 x + 1 d x - ∫ 2 x + 1 2 d x + ∫ 1 x + 1 3 d x

Integrando, temos:

∫ x 2 x + 1 3 d x = ln ⁡ x + 1 - 2 x + 1 - 1 - 1 + x + 1 - 2 - 2 + C

Reorganizando:

∫ x 2 x + 1 3 d x = ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 - 1 2 x + 1 2 + C

Resposta

∫ x 2 x + 1 3 d x = ln ⁡ x + 1 + 2 x + 1 - 1 2 x + 1 2 + C

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