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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 27

Calcule a Integral:

int (x^2)/((x + 1)^3) d x

Passo 1

Essa integral deve ser analisada como a integral das frações parciais da função. Se nossa integral é:

int (x^2)/((x + 1)^3) d x

Teremos que decompor em fatores de (x + 1) ; (x + 1)^2 e (x + 1)^3 :

(x^2)/((x + 1)^3) = (A)/(x + 1) + (B)/((x + 1)^2) + (C)/((x + 1)^3)

Juntando os termos , temos:

(x^2)/((x + 1)^3) = (A (x + 1)^2 + B (x + 1) + C)/((x + 1)^3)

As duas funções possuem o mesmo denominador, podemos dizer que:

x^2 = A (x + 1)^2 + B (x + 1) + C

Ou:

x^2 = A ( x^2 + 2 x + 1 ) + B (x + 1) + C

Combinando os termos em comum:

x^2 = A x^2 + (2 A x + B x) + (A + B + C)

x^2 = A x^2 + (2 A + B) x + ( A + B + C )

Passo 2

Podemos montar um sistema de equações utilizando os coeficientes com a seguinte aparência:

A x^2 + (2 A + B) x + (A + B + C)

[[A,=,1],[2,A,+,B,=,0],[A,+,B,+,C,=,0]]

Resolvendo o sistema temos que A = 1 ; B = - 2 e C = 1 .

Passo 3

Reconstruindo a equação, temos:

int (x^2)/((x + 1)^3) d x = int ((A)/(x + 1) + (B)/((x + 1)^2) + (C)/((x + 1)^3)) d x

Resolvendo, temos:

int (x^2)/((x + 1)^3) d x = int (A)/(x + 1) d x + int (B)/((x + 1)^2) d x + int (C)/((x + 1)^3) d x

Substituindo os termos, temos:

int (x^2)/((x + 1)^3) d x = int (1)/(x + 1) d x - int (2)/((x + 1)^2) d x + int (1)/((x + 1)^3) d x

Integrando, temos:

int (x^2)/((x + 1)^3) d x = ln |x + 1| - 2 (((x + 1)^(- 1))/(- 1)) + ((x + 1)^(- 2))/(- 2) + C

Reorganizando:

int (x^2)/((x + 1)^3) d x = ln |x + 1| + (2)/(x + 1) - (1)/(2 (x + 1)^2) + C

Resposta

int (x^2)/((x + 1)^3) d x = ln |x + 1| + (2)/(x + 1) - (1)/(2 (x + 1)^2) + C

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