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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 27

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(sqrt(e^(2 x) - 8))

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva. Antes precisamos dar uma arrumada nela, vejam só:

int (d x)/(sqrt(e^(2 x) - 8)) = int (d x)/(sqrt(( e^x )^2 - 8))

O pulo do gato para essa questão é multiplicar o numerador o denominador por e^x .

int (d x)/(sqrt(( e^x )^2 - 8)) = int (e^x d x)/(e^x sqrt(( e^x )^2 - 8))

Agora eu vou deixar o 8 em evidência para ficar uma expressão do tipo u^2 - 1 , dentro da raiz.

int (e^x d x)/(e^x sqrt(( e^x )^2 - 8)) = int (e^x d x)/(e^x sqrt(8 ((1)/(8) (e^x)^2 - 1))) = int (e^x d x)/(sqrt(8) e^x sqrt((1)/(8) (e^x)^2 - 1))

Continuando...

int (e^x d x)/(√ 8 e^x sqrt(((e^x)^2)/(8) - 1)) = int (e^x d x)/(√ 8 e^x sqrt(((e^x)/(sqrt(8)))^2 - 1))

Agora ficou interessante, está quase com cara de uma integral conhecida.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para ficar u^2 - 1 dentro da raiz.

Faremos a substituição u = (e^x)/(sqrt(8)) e derivando temos d u = (e^x)/(sqrt(8)) d x que é justamente algo que aparece na integral:

int (e^x d x)/(√ 8 e^x sqrt(((e^x)/(sqrt(8)))^2 - 1)) = int (d u)/(e^x sqrt(u^2 - 1))

Perceba que a integral não está totalmente na variável u , devemos descobrir quem é e^x , mas olhem a nossa substituição u = (e^x)/(sqrt(8)) -> e^x = sqrt(8) u . Agora sim!

int (d u)/(sqrt(8) u sqrt(u^2 - 1)) = (1)/(sqrt(8)) int (d u)/(u sqrt(u^2 - 1))

Passo 3

Agora resolveremos essa integral:

I = (1)/(sqrt(8)) int (d u)/(u sqrt(u^2 - 1))

Teremos que fazer uma outra substituição h = sqrt(u^2 - 1) = (u^2 - 1)^((1)/(2)) e derivando temos

((u^2 - 1)^((1)/(2))) ' = (1)/(2) ( u^2 - 1 )^((1)/(2) - 1) * ( u^2 - 1 ) '

Usa-se a regra da cadeia na função acima e ficamos com

d h = (1)/(2) ( u^2 - 1 )^(- (1)/(2)) (2 u) d u = (2 u)/(2 ( u^2 - 1 )^((1)/(2))) d u = (u)/(sqrt(u^2 - 1)) d u

d h = (u)/(sqrt(u^2 - 1)) d u

Agora observem que h = sqrt(u^2 - 1) , então d h = (u)/(h) d u e d u = (h)/(u) d h .

Passo 4

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável h .

Temos que:

I = (1)/(sqrt(8)) int (d u)/(u sqrt(u^2 - 1))

E d u = (h)/(u) d h com h = sqrt(u^2 - 1) , com isso, temos que u^2 = h^2 + 1 . Então:

= (1)/(sqrt(8)) int (d u)/(u sqrt(u^2 - 1)) = (1)/(sqrt(8)) int (((h)/(u) d h))/(u h) = (1)/(sqrt(8)) int (d h)/(u^2) = (1)/(sqrt(8)) int (d h)/(h^2 + 1)

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 5

Agora resolvemos a integral:

I = (1)/(sqrt(8)) int (d h)/(h^2 + 1) = (1)/(sqrt(8)) tan^(- 1) h + C

Aqui devemos lembrar que ( tan^(- 1) u ) ' = (1)/(u^2 + 1) , então essa era justamente a primitiva que precisávamos.

Passo 6

O último passo é voltar na variável original x . Como o problema deu uma integral indefinida na variável x , nós devemos dar a resposta nessa variável também.

int (d x)/(sqrt(e^(2 x) - 8)) = (1)/(sqrt(8)) tan^(- 1) h + C

Sendo u = (e^x)/(sqrt(8)) e h = sqrt(u^2 - 1) , temos h = sqrt((e^(2 x))/(8) - 1) .

Logo,

int (d x)/(sqrt(e^(2 x) - 8)) = (1)/(sqrt(8)) tan^(- 1) (sqrt((e^(2 x))/(8) - 1)) + C

Ufa! Terminamos mais uma.

Resposta

int (d x)/(sqrt(e^(2 x) - 8)) = (1)/(sqrt(8)) tan^(- 1) (sqrt((e^(2 x))/(8) - 1)) + C

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