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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 15

Calcule a integral indefinida

int (d x)/((1 + x) sqrt(x))

Passo 1

int (d x)/((1 + x) sqrt(x))

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a^2

Ou

a^2 - 1

Ou

a^2 + 1

Mas nem soma temos direito. Vamos fazer o seguinte:

sqrt(x) = a -> x^((1)/(2)) = a -> (1)/(2) x^(- (1)/(2)) d x = (1)/(2 sqrt(x)) d x = d a

Na nossa integral, temos

(1)/(sqrt(x)) d x = 2 d a

Entao, vamos fazer essa substituição.

Para aquele x , vamos ter:

sqrt(x) = a -> x = a^2

A integral vai ficar:

Como o termo x^2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a^2

int (2 d a)/(1 + a^2)

Passo 2

int (2 d a)/(1 + a^2)

Essa é integra é tg^(- 1) y , então vamos ter:

int (2 d a)/(1 + a^2) = 2 tg^(- 1) a + C

Voltando para x

2 tg^(- 1) a + C = 2 tg^(- 1) sqrt(x) + C

Resposta

2 tg^(- 1) sqrt(x) + C

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