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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 11

Calcule a integral indefinida.

int (r)/(sqrt(16 - 9 r^4)) d r

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

O primeiro passo é reescrever a integral:

I = int (r)/(sqrt(16 - 9 r^4)) d r = int (r)/(sqrt(16 - (3 r^2)^2)) d r

Fazendo t = 3 r^2 , temos que d t = 6 r d r . Assim,

I = (1)/(6) int (1)/(sqrt(16 - t^2)) d t

Agora fazemos t = 4 u , de modo que d t = 4 d u :

I = (1)/(6) int (1)/(sqrt(16 - 16 u^2)) * 4 d u = (1)/(6) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 2

Agora podemos calcular a primitiva:

I = (1)/(6) a r c s e n u + C

Como u = t // 4 :

I = (1)/(6) a r c s e n (t)/(4) + C

Por fim, lembre-se que t = 3 r^2 :

I = (1)/(6) a r c s e n (3 r^2)/(4) + C

Resposta

(1)/(6) a r c s e n (3 r^2)/(4) + C

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