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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 36

Para m e n inteiros positivos, mostre que a fórmula dada é verdadeira.

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = 0     s e     m ≠ n 1     s e     m = n  

Passo 1

Antes de mostrar o que foi pedido, vamos separar os cossenos do integrando e depois considerar cada caso separadamente. A primeira coisa a se fazer é usar a relação:

cos ⁡ a cos ⁡ b = cos ⁡ ( a - b ) + cos ⁡ ( a + b ) 2

No nosso caso, a = π n x e b = π m x , ficamos então com:

∫ cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = ∫ cos ⁡ ( n π x - m π x ) + cos ⁡ ( n π x + m π x ) 2 d x

= 1 2 ∫ cos ⁡ x π n - π m + cos ⁡ x π n + π m d x

Separando em duas integrais, nós ficamos com:

∫ cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ x π n - π m d x + ∫ cos ⁡ x π n + π m d x

Pronto! Agora podemos resolver cada caso.

Passo 2

Vamos analisar o caso 1, ou seja,

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = 0               m ≠ n

Para resolver a integral que foi separada vamos precisar saber:

∫ cos ⁡ α x d x = sen ⁡ α x α + C             α ≠ 0

Basta aplicar a fórmula agora em que α = π n - π m na primeira integral e α = π n + π m na segunda.

∫ cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ x π n - π m d x + ∫ cos ⁡ x π n + π m d x

= 1 2 sen ⁡ x π n - π m π n - π m + sen ⁡ x π n + π m π n + π m + C

= 1 2 sen ⁡ x π ( n - m ) π ( n - m ) + sen ⁡ x π ( n + m ) π ( n + m ) + C

Acima os denominadores são diferentes de 0 , pois n ≠ m .

Passo 3

Podemos resolver agora a integral definida. Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 sen ⁡ x π n - m π n - m + sen ⁡ x π n + m π n + m - 1 1

Aqui é importante perceber que n - m e n + m são inteiros, pois por hipótese n ,   m são inteiros. Diante disso e do fato de que sen ⁡ k π = 0 para k inteiro, temos:

sen ⁡ π n - m = 0               e        sen ⁡ π n + m = 0

sen ⁡ - π n - m = 0               e        sen ⁡ - π n + m = 0

Sendo assim,

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x

= 1 2 sen ⁡ π n - m ⏞ 0 π n - m + sen ⁡ π n + m ⏞ 0 π n + m - 1 2 sen ⁡ - π n - m ⏞ 0 π n - m + sen ⁡ - π n + m ⏞ 0 π n + m = 0

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = 0

Como queríamos. Primeiro caso demonstrado então.

Passo 4

Vamos analisar o caso 2, ou seja,

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = 1               m = n

Para isso, vamos utilizar n = m na integral:

∫ cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ x π n - π m d x + ∫ cos ⁡ x π n + π m d x

= 1 2 ∫ cos ⁡ x π n - π n ⏞ 0 d x + ∫ cos ⁡ x π n + π n d x

= 1 2 ∫ cos ⁡ 0 d x + ∫ cos ⁡ 2 π n x d x = 1 2 ∫ 1 d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 2 π n x ) d x

Para resolver a integral vamos precisar saber:

∫ cos ⁡ α x d x = sen ⁡ α x α + C             α ≠ 0

Então,

∫ cos ⁡ ( n π x ) cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 ∫ 1 d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 2 π n x ) d x

= x 2 + 1 2 ⋅ sen ⁡ 2 π n x 2 π n + C = x 2 + sen ⁡ 2 π n x 4 π n + C

Passo 5

Agora basta resolver a integral definida.

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = x 2 + sen ⁡ 2 π n x 4 π n - 1 1 = 1 2 + sen ⁡ 2 π n 4 π n ⏞ 0 - - 1 2 + sen ⁡ - 2 π n 4 π n ⏞ 0

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = 1 2 - - 1 2 = 1

Como queríamos. Segundo caso demonstrado também. Demonstramos então que é verdadeira a fórmula:

∫ - 1 1 cos ⁡ n π x cos ⁡ ( m π x ) d x = 0     s e     m ≠ n 1     s e     m = n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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