Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 33
Calcule por três métodos: (a) fazendo a substituição ; (b) fazendo a substituição ; (c) usando a identidade de . Explique a aparência diferente das respostas obtidas em (a), (b) e (c).
Passo 1
- fazendo a substituição .
- fazendo a substituição .
- usando a identidade de .
Já vamos começar fazendo essa substituição, pessoal. Seja então:
Derivando temos:
Que é uma expressão que aparece na integral. Vamos trocar a variável e resolver.
Voltando na variável original, temos:
Passo 2
Seja então:
E derivando temos:
Que é uma expressão que aparece na integral. Vamos trocar a variável e resolver.
Voltando na variável original, temos:
Passo 3
Usando a identidade, nós temos:
Passo 2
Pessoal, conseguimos três respostas diferentes para a mesma integral. Por que isso?
A ideia é que existem infinitas primitivas para uma mesma função e como as primitivas do nosso integrando são funções trigonométricas, elas podem assumir várias formas e isso se deve ao fato de existirem muitas relações trigonométricas.
No exemplo a seguir, utilizando a resposta da primeira integral nós conseguimos chegar na resposta da segunda com uma relação trigonométrica.
Vejam que é outra constante, então podemos escrever:
A diferença entre primitivas sempre será uma constante. Utilizando relações trigonométricas nós conseguimos perceber que as respostas só estão expressas de formas diferentes.