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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 8

Calcule a integral indefinida.

int (d w)/(w^2 sqrt(w^2 - 7))

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(w^2 - 7^2) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(w^2 - (sqrt(7))^2)

t^2 = w^2 - (sqrt(7))^2

t^2 + (sqrt(7))^2 = w^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sec theta = (w)/(sqrt(7))

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar w = sqrt(7) sec theta e também as mudanças necessárias.

w = sqrt(7) sec theta

d w = sqrt(7) tan theta sec theta d theta

int (sqrt(7) tan theta sec theta)/((sqrt(7) sec theta)^2 (sqrt((sqrt(7) sec theta)^2 - 7))) d theta

Passo 3

Vamos aplicar a Identidade Trigonométrica.

int (sqrt(7) tan theta sec theta)/(7 sec^2 theta (sqrt(( sec^2 theta - 1 ) 7))) d theta

(cos^2 theta + sin^2 theta = 1) * (1)/(cos^2 theta)

1 + tan^2 theta = sec^2 theta

int (sqrt(7) tan theta sec theta)/(7 sec^2 theta sqrt(7) tan theta) d theta

(1)/(7) int (1)/(sec theta) d theta

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através das relações trigonométricas do triângulo montado anteriormente sin theta = (sqrt(w^2 - 7))/(w) .

(1)/(7) int cos theta d theta

(1)/(7) sin theta + c

(sqrt(w^2 - 7))/(7 w) + c

Resposta

(sqrt(w^2 - 7))/(7 w) + c

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